Задание: найти предел: $$ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(4x)}{3x^2}$$
Решение:
Найдем предел $$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(4x)}{3x^2} = \frac{1-\cos(4*0)}{3*0^2} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Данную неопределенность можно разрешать применяя метод Лопиталя.
Правило Лопиталя:
Правило Лопиталя: если \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}\), то $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Для применением правила Лопиталя необходима неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), которой мы получили в п.1, поэтому можно применить правило Лопиталя: $$ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(4x)}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos(4x))'}{(3x^2)'} = $$находим отдельно производные числителя и знаменателя$$ = \lim_{x \to 0} \frac{4\sin(4x)}{6x} = \frac{2\sin(4*0)}{3*0} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), повторно применим правило Лопиталя $$ = \frac{2}{3}\lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} = \frac{2}{3}\lim_{x \to 0} \frac{(\sin(4x))'}{(x)'} = $$ находим производные числителя и знаменателя $$ = \frac{2}{3}\lim_{x \to 0} \frac{4\cos(4x)}{1} = \frac{2}{3}\frac{4\cos(4*0)}{1} = \frac{8}{3}$$
Ответ: \( \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(4x)}{3x^2} = \frac{8}{3}\)
