Решение:
1. введем обозначения \(\vec{p}(x_p;y_p)\), \(\vec{q}(x_q;y_q)\)
2. найдем координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\)
применим:
формулу суммы векторов в координатной форме \(\vec{a}+\vec{b} = \vec{c}(x_a+x_b;y_a+y_b)\)
формулу разности векторов в координатной форме \(\vec{a}-\vec{b} = \vec{c}(x_a-x_b;y_a-y_b)\)
формулу произведения вектора на число в координатной форме \(\lambda \vec{a} = \vec{c}(\lambda x_a;\lambda y_a)\)
Найдем координаты векторов $$\vec{a}(2p+q) =>\vec{a}(2x_p+x_q; 2y_p+y_q)$$ $$\vec{b}(p-3q) =>\vec{b}(x_p-3x_q; y_p-3y_q)$$
Воспользуемся перпендикулярностью векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\)
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов:
Для перпендикулярности двух ненулевых векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю, то есть, чтобы выполнялось равенство \(\vec{a}\vec{b} = 0\)
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов в координатах имеет следующий вид на плоскости $$x_a*x_b+y_a*y_b = 0$$
Подставляем координаты векторов $$\vec{a}\vec{b} = x_a*x_b+y_a*y_b = 0 => $$$$(2x_p+x_q)(x_p-3x)+(2y_p+y_q)(y_p-3y_q) = 0 => $$$$2x_p^2-5x_px_p -3x_q^2 + 2y_p^2 - 5y_py_q - 3y_q^2 = 0 \quad (1)$$ упростим полученное уравнение. Согласно условия задачи \(|p| = 3 => \sqrt{x_p^2+y_p^2} = 3 => x_p^2+y_p^2 =9\), \(|q| = 2 => \sqrt{x_q^2+y_q^2} = 2 => x_q^2+y_q^2 =4\). Подставим эти уравнения в (1)
$$2(x_p^2+ y_p^2)-5x_px_p -3(x_q^2+y_q^2) - 5y_py_q = 0 => 18 - 5x_px_p - 5y_py_q - 12 = 0 => $$$$x_px_p + y_py_q = \frac{6}{5} \quad (2)$$
Формула вычисления угла между векторами $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{p}\vec{q}}{|p||q|} = \frac{x_px_q+y_py_q}{|p||q|}$$ подставляем уравнение (2) и значения модулей векторов, получаем $$\cos(\alpha) = \frac{x_px_q+y_py_q}{|p||q|} = \frac{\frac{6}{5}}{3*2} = \frac{1}{5} =>$$$$\alpha = \arccos(\frac{1}{5})$$
Ответ: угол между векторами \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) равен \(\alpha = \arccos(\frac{1}{5})\)
