Решение: выполним действия над комплексными числами \(\frac{(1-2i)(1+2i)}{2+i} - i^{12}\) в алгебраической форме :
$$\frac{(1-2i)(1+2i)}{2+i} - i^{12} = $$ в числителе произведение двух комплексно сопряженных чисел 1-2i и 1+2i, учтем что \( i^2=-1 => i^{12} = (-1)^6 = 1\)
\((1-2i)*(1+2i) = 1-(2i)^2 = 1-4i^2 = 1+4 = 5\) $$ = \frac{5}{2+i} - 1 = $$ избавимся в знаменателе от комплексного числа, умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряженное число к знаменателю \(2-i\), получим $$ = \frac{5}{2+i}\frac{2-i}{2-i} - 1 = \frac{5(2-i)}{2^2-i^2} - 1 = $$$$ = \frac{5(2-i)}{5} - 1 = 2-i - 1 = 1- i$$
Запишем комплексное число \(z = 1-i\) в тригонометрической форме
тригонометрическая форма комплексного числа $$ z = \rho (\cos(\phi) + i\sin(\phi)) \quad$$ где \(\rho = |z|\), \( \phi = Arg z\)
найдем модуль числа z
\(|z| = \sqrt{x^2+ y^2} \), где действительная часть комплексного \(x = \Re z = 1\), мнимая часть комплексного числа \(y = \Im z = -1\), получаем $$|z| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$$
найдем аргумент комплексного числа $$arg z = \begin{cases} arctg\frac{y}{x}, \text{ если x > 0}\\ \pi + arctg\frac{y}{x}, \text{ если x < 0, y}\geq 0 \\ -\pi + arctg\frac{y}{x}, \text{ если x < 0, y < 0} \\ \frac{\pi}{2}, \text{ если x = 0, y > 0 } \\ -\frac{\pi}{2}, \text{ если x = 0, y < 0 } \end{cases}$$ т.к. \(x = 1 > 0\), \(y = -1 < 0\), получаем \(arg z = arctg\frac{y}{x} = arctg\frac{-1}{1} = - \frac{\pi}{4}\)
подставляем в (1) $$z = \sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{4}) - i\sin(\frac{\pi}{4}))$$
Запишем комплексное число \(z = 1-i\) в показательной форме/
Любое комплексное число можно записать в показательной форме \(z = \rho e^{i\phi}\), где \(\rho = |z|\), \(\phi = Arg z\), подставляем значения модуля и аргумента $$z = \sqrt{2}e^{-\frac{\pi}{4}i} $$
Ответ: \(1-i = \sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{4}) - i\sin(\frac{\pi}{4})) = \sqrt{2}e^{-\frac{\pi}{4}i}\)
