Решение:
1. Находим координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
Найдем координаты векторов как разность координат вершин A(-5,6,0), B(-6,-2,1) , C(-3,4,-1), D(-1,-7,0):
\(\vec{a} = \vec{AB} = (-6+5;-2-6;1-0) = (-1;-8;1)\)
\(\vec{b} = \vec{CD} = (-1+3;-7-4;0+1) = (2;-11;1)\)
2. Найдем векторы \(2\vec{a}+\vec{b}\) и \(\vec{a}-2\vec{b}\)
найдем вектор \(2\vec{a}+\vec{b}\)
Применим формулу произведения вектора на число \(\lambda\vec{a} = \vec{b}(\lambda x_a; \lambda y_a)\)
Применим формулу суммы векторов \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}(x_a+x_b; y_a+y_b; z_a+z_b\)
Применим формулу разности векторов \(\vec{a} - \vec{b} = \vec{c}(x_a-x_b; y_a-y_b; z_a+z_b)\)
получаем \(2\vec{a}+\vec{b} = \vec{c}(2*(-1)+2;2*(-8)-11;2*1+1) => \vec{c}(0; -27; 3)\)
получаем \(\vec{a}-2\vec{b} = \vec{d}((-1)-2*2;(-8)-2*(-11);1-2*1) => \vec{d}(-5; 14; -1)\)
3. Найдем длины векторов \(2\vec{a}+\vec{b}\) и \(\vec{a}-2\vec{b}\)
Определение: длина вектора \(\vec{AB}\) в пространстве –– это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора \(\vec{a} = \sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}\).
Длины векторов: $$ |\vec{c}| = |2\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{0^2+(-27)^2+3^2} = 3 \sqrt{82}$$$$ |\vec{d}| = |\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{(-5)^2+14^2+(-1)^2} = \sqrt{222}$$
4. Скалярное произведение векторов \(2\vec{a}+\vec{b}\) и \(\vec{a}-2\vec{b}\)
Скалярное произведение векторов равно:
\(\vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cos\phi = x_a*x_b+y_a*y_b+z_a*z_b\)
получаем \(\vec{c}\cdot\vec{d} = 0*(-5)+(-27)*14 + 3*(-1) = -381\)
5. Угол между векторами \(2\vec{a}+\vec{b}\) и \(\vec{a}-2\vec{b}\)
Определение: Косинус угла между векторами: $$\cos\phi = \frac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{x_a*x_b+y_a*y_b+z_a*z_b}{\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}\sqrt{x_b^2+y_b^2+z_b^2}}$$
Подставляем координаты: $$\cos\phi = \frac{\vec{c}\vec{d}}{|\vec{c}||\vec{d}|} = \frac{x_c*x_d+y_c*y_d+z_c*z_d}{\sqrt{x_c^2+y_c^2+z_c^2}\sqrt{x_d^2+y_d^2+z_d^2}} = $$$$ = \frac{0*(-5)+(-27)*14+3*(-1)}{\sqrt{0^2+(-27)^2+3^2}\sqrt{(-5)^2+14^2+(-1)^2}} \approx -0.94 =>$$$$\phi = arccos(-0.94) \approx 160^0$$
