Решим неравенство \(3^x+3^{-x+1} \leq 4\). В неравенстве видно, что показательную функцию можно привести к одному основанию и одной степени. Сделаем это $$3^x+3^{-x+1} \leq 4 =>3^x+\frac{3}{3^x} - 4 \leq 0$$Для наглядности решения введем замену \(t=3^x\) при этом учтем, что при всех значениях \(x\) область значения функции \(3^x=t >0\), получим $$t+\frac{3}{t} - 4 \leq 0 =>\frac{t^2-4t+3}{t} \leq 0 =>$$в дроби знаменатель всегда больше нуля, значит только числитель может быть меньше 0 $$t^2-4t+3 \leq 0$$находим корни уравнения $$t^2-4t+3 = 0 =>t_{1,2}=\frac{4 \pm \sqrt{16-4*3}}{2}=\frac{4 \pm 2}{2}=> t_1=3,t_2=1$$методом змейка найдем решения неравенства при этом помним, что \(t>0\)
Из рисунка видно что \(t \in [1;3]\). Проведем обратную замену и получим $$1 \leq 3^x \leq 3 =>3^0 \leq 3^x \leq 3^1$$т.к. основание показательной функции больше 1 (3>1, функция монотонно возрастает), то при переходе к аргументу знак неравенства не меняется. получим $$ 0 \leq x \leq 1$$Ответ: \(x \in [0;1]\)
