Найдем производную функции: \(y = \sqrt[3]{\sin(3x)}*e^{2x}\)
Решение:
1. Применим формулу производной произведения \((f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)
$$(\sqrt[3]{\sin(3x)}*e^{2x})' = (\sqrt[3]{\sin(3x)})'*e^{2x} + \sqrt[3]{\sin(3x)}*(e^{2x})' \quad (1)$$ Найдем производные каждого слагаемого отдельно:
\((\sqrt[3]{\sin(3x)})' = ((\sin(3x))^{\frac{1}{3}})'\) применим формулу производной сложной функции \((f(g(x)))'= f'(g(x))g'(x)\), где внешняя функция - степенная функция, производная которой находится по формуле \(x^a = ax^{a-1}\), а внутренняя - тригонометрическая функция, производная которой ищется по формуле \((\sin(x))' = \cos(x)\), при этом внутренняя функция - сложная функция, поэтому ее производная равна \((\sin(3x)) = 3\cos(3x)\)
получаем \(((\sin(3x))^{\frac{1}{3}})' = (\frac{1}{3}\sin(3x))^{\frac{1}{3}-1})*3\cos(3x) = \sin(3x))^{-\frac{2}{3}})*\cos(3x)\)
\((e^{2x})' = \) применяем формулу производной сложной функции и производной показательной функции \(e^x = e^x\), получаем \((e^{2x})' = 2e^{2x}\)
подставляем решения (1) $$ = (\sqrt[3]{\sin(3x)})'*e^{2x} + \sqrt[3]{\sin(3x)}*(e^{2x})' =$$$$ = (\sin(3x))^{-\frac{2}{3}}*\cos(3x) e^{2x} + (\sin(3x))^{\frac{1}{3}}*2e^{2x} = $$$$ = \frac{e^{2x}(\cos(3x) +2\sin(3x))}{(\sin(3x))^{\frac{2}{3}}}$$
Ответ: \( (\sqrt[3]{\sin(3x)}*e^{2x})' = \frac{e^{2x}(\cos(3x) +2\sin(3x))}{(\sin(3x))^{\frac{2}{3}}}\)
