Задание: вычислим объем треугольной пирамиды DАВС, которая задана своими вершинами A(14;4;5), B(-5;-3;2), C(-2;-6;-3), D(-2;2;-1).
Решение: геометрический смысл смешанного произведения трех векторов - произведение равно объему \(V_{пар}\) параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах \(\vec{a}, \vec{b},\vec{c}\). Объем пирамиды будет равен \(V_{пир} = \frac{1}{6}V_{пар}\).
Алгоритм нахождения объема треугольной пирамиды при известных координатах вершин.
1. Находим координаты векторов, выходящих из одной вершины.
Возьмем на общую вершину точку A и найдем координаты векторов как разность координат вершин:
\(\vec{AB} = (-5-14;-3-4;2-5) = (-19;-7;-3)\)
\(\vec{AC} = (-2-14;-6-4;-3-5) = (-16;-10;-8)\)
\(\vec{AD} = (-2-14;2-4;-1-5) = (-16;-2;-6)\)
Смешанное произведения трех векторов, которое равно объему параллелепипеда, находится по формуле $$(\vec{a}\times\vec{b})*\vec{c} = \left|\begin{array}{c} a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z\end{array}\right|$$ нам нужно \(\frac{1}{6}\) от этого объема. Подставим координаты и вычислим определитель $$V_{пир} = \pm \frac{1}{6}(\vec{a}\times\vec{b})*\vec{c} = $$$$ \pm \frac{1}{6} \left|\begin{array}{c} -19 & -7 & -3\\ -16 & -10 & -8 \\ -16 & -2 & -6\end{array}\right| = \pm \frac{1}{6} \left|\begin{array}{c} 19 & 7 & 3\\ 16 & 10 & 8 \\ 16 & 2 & 6\end{array}\right| =$$$$ = \pm \frac{1}{6} (19*10*6+ 7*8*16+16*2*3-16*10*3-2*8*19-6*7*16) = \frac{1}{6}*676 = 112\frac{2}{3}ед^3$$ Знак \(\pm\) означает, что объем это положительное число.
Ответ: объем треугольной пирамиды равен \(V_{пир} = 112\frac{2}{3}ед^3\).
