Задание: являются ли вектора \(\vec{a};\vec{b};\vec{c}\) компланарными \(\vec{a}(3;-4;0);\vec{b}(-1;2;-3);\vec{c}(4;0;-3)\)
Решение: Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения, которое находится по формуле $$(\vec{a}\times\vec{b})*\vec{c} = \left|\begin{array}{c} a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z\end{array}\right|$$ Подставим координаты и вычислим определитель $$(\vec{a}\times\vec{b})*\vec{c} = \left|\begin{array}{c} 3 & -4 & 0\\ -1 & 2 & -3 \\ 4 & 0 & -3\end{array}\right| =$$$$ = 3*2(-3) + 4*(-4)*(-3)+0*(-1)*0 - 4*2*0-0*3*(-3) - (-1)*(-4)*(-3) = 42$$
Ответ: смешанное произведение векторов \((\vec{a}\times\vec{b})*\vec{c} = 42 \ne 0 \) не равно нулю, т.е. вектора не являются компланарными.
