Задача: Найти скалярное и векторное произведение векторов АВ и АС , если заданы координаты точек A(-3;2;4), B(2;-3;0), C(-3;2;1).
Решение: Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Вектор - направленные отрезки, имеющие начало и конец. В пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z: \(\vec{a}(x_a;y_az_a)\). Координаты вектора в пространстве находятся вычитанием из координаты конца координаты начала.
$$\vec{a} = \vec{AB}(x_b-x_a;y_b-y_a;z_b-z_a)$$
найдем координаты векторов \(\vec{AB};\vec{AC}\)
Координаты вектора \(\vec{AB}(2+3;-3-2;0-4) => \vec{AB}(5;-5;-4)\)
Координаты вектора \(\vec{AC}(-3+3;2-2;1-4) =>\vec{AC}(0;0;-3)\)
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений соответствующих координат $$\vec{a}*\vec{b} = a_x*b_x + a_y*b_y + a_z*b_z$$ Подставляем координаты векторов $$\vec{AB}*\vec{AC} = 5*0 + (-5)*0 + (-4)*(-3) = 12$$
Ответ: скалярное произведение векторов \( \vec{AB}*\vec{AC} = 12\)
Векторное произведение двух векторов \(\vec{a} = (a_x; a_y; a_z)\) и \(\vec{b} = (b_x; b_y; b_z)\) в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы: $$\vec{a}\times\vec{b} = \left|\begin{array}{c} i & j & k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{array}\right| = $$$$ = i(a_yb_z - a_zb_y) - j(a_xb_z - a_zb_x) + k(a_xb_y-a_yb_x) =>$$$$\vec{a}\times\vec{b} = (a_yb_z - a_zb_y; - a_xb_z + a_zb_x; a_xb_y-a_yb_x)$$Подставляем координаты векторов $$ \vec{AB}\times\vec{AC} = \left|\begin{array}{c} i & j & k \\ 5 & -5 & -4 \\ 0 & 0 & -3 \end{array}\right| = $$ находим определитель $$ = i[(-5)(-3) - 0(-4)]+ j[5(-3) - 0(-4)]+k[0*5-0(-5)] = $$$$ = 15i- 15j+0k = {15;-15;0}$$
Ответ: векторное произведение векторов \( \vec{AB}\times\vec{AC}= {15;-15;0}\)
