Найдем предел: $$ \lim_{x \to 2}(2x-3)^\frac{x^2}{x-2}$$
Решение:
Найдем предел $$ \lim_{x \to 2}(2x-3)^\frac{x^2}{x-2} = (2*2-3)^\frac{x^2}{2-2} = 1^{\infty}$$ получили неопределенность вида \(1^{\infty}\). Данную неопределенность можно разрешать применяя метод Лопиталя. Рассмотрим метод:
Правило Лопиталя:
Проведем преобразования $$ \lim_{x \to 2}(2x-3)^\frac{x^2}{x-2} = e^{\lim_{x \to 2}\ln(2x-3)^\frac{x^2}{x-2}} = $$$$ = e^{\lim_{x \to 2}\frac{x^2}{x-2} \ln(2x-3)} = \quad (1)$$ Найдем отдельно предел $$ \lim_{x \to 2}\frac{x^2}{x-2} \ln(2x-3) = \frac{0}{0} $$ Применим правило Лопиталя.
Правило Лопиталя $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$ Предварительно упростим дробь, выделим целую часть числа $$ \lim_{x \to 2}\frac{x^2}{x-2} \ln(2x-3) = \lim_{x \to 2}\frac{x^2-4+4}{x-2} \ln(2x-3) = $$$$ = \lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+2)+4}{x-2} \ln(2x-3) = \lim_{x \to 2}(x+2 +\frac{4}{x-2}) \ln(2x-3) = $$$$ = \lim_{x \to 2}(x+2)\ln(2x-3) + \lim_{x \to 2}\frac{4}{x-2} \ln(2x-3) = 0+ \lim_{x \to 2}\frac{4}{x-2} \ln(2x-3) = \frac{0}{0}$$ Применяем правило Лопиталя $$ \lim_{x \to 2}\frac{4}{x-2} \ln(2x-3) = 4\lim_{x \to 2}\frac{(\ln(2x-3))'}{(x-2)'} =$$$$ = 4\lim_{x \to 2}\frac{\frac{2}{2x-3}}{1} = 4 \frac{2}{2*2-3} = 8$$Подставляем ответ в (1)
$$ e^{\lim_{x \to 2}\frac{x^2}{x-2} \ln(2x-3)} = e^{8}$$
Ответ: \( \lim_{x \to 2}(2x-3)^\frac{x^2}{x-2} = e^{8} \)
