Решение: найдем предел \(\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos(4x)}{1-\cos(8x)}\)
1. При \(x \to 0\) функция стремится $$\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos(4x)}{1-\cos(8x)} = \frac{1-1}{1-1} = \frac{0}{0}$$ т.е. имеет неопределенность вида \(\frac{0}{0}\) Для нахождения предела нужно избавиться от этой неопределенности для этого применим правило Лопиталя.
2. Правило Лопиталя:
Определение: Правило Лопиталя если \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}\), то $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$ Применяем правило Лопиталя, т.е. найдем производные числителя и знаменателя $$ \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos(4x)}{1-\cos(8x)} = \lim_{x \to 0}\frac{(1-\cos(4x))'}{(1-\cos(8x))'} = $$ применим формулу производной сложной функции \((f(g(x))' = f'(x)g'(x)\), получаем \((\cos(8x))' = -8\sin(8x)\), \((\cos(4x))' = -4\sin(4x)\), подставляем $$ = \lim_{x \to 0}\frac{4\sin(4x)}{8\sin(8x)} = \frac{0}{0}$$ Получили опять неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), повторно применим правило Лопиталя $$\lim_{x \to 0}\frac{4\sin(4x)}{8\sin(8x)} = \frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\frac{(\sin(4x))'}{(\sin(8x))'} = $$$$ = \frac{1}{2}\lim_{x \to 0}\frac{4\cos(4x)}{(8\cos(8x)} = \frac{1}{2}\frac{4\cos(4*0)}{(8\cos(8*0)} = \frac{1}{4}$$
Ответ: \(\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos(4x)}{1-\cos(8x)}= \frac{1}{4}\)
