Решение: найдем предел \( \lim_{x \to \infty}(x-2)[\ln(x-1)-\ln(x+1)]\)
1. При \(x \to \infty\) функция представляет собой разность двух бесконечно больших функций, т.е. имеет неопределенность вида \(\infty - \infty\) $$ \lim_{x \to \infty}(x-2)[\ln(x-1)-\ln(x+1)] = \infty - \infty$$ Для нахождения предела нужно избавиться от этой неопределенности. В данном случае воспользуемся формулой разности логарифмов \(\ln(x) - \ln(y) = \ln(\frac{x}{y})\), получаем $$ = \lim_{x \to \infty}(x-2)\ln(\frac{x-1}{x+1}) = \infty*0 $$Преобразуем эту неопределенность в неопределенность вида \(\frac{0}{0}\) или \(\frac{\infty}{\infty}\), получим $$ = \lim_{x \to \infty}\frac{\ln(\frac{x-1}{x+1})}{\frac{1}{x-2}} = \frac{0}{0}$$Данные преобразования нужны для применения правила Лопиталя.
2. Правило Лопиталя:
Определение: Правило Лопиталя если \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}\), то $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$ Применяем правило Лопиталя, т.е. найдем производные числителя и знаменателя $$ \lim_{x \to \infty}\frac{ \ln(\frac{x-1}{x+1})}{ \frac{1}{x-2}} = \lim_{x \to \infty}\frac{( \ln(\frac{x-1}{x+1}))'}{( \frac{1}{x-2})'} = $$ применим формулу производной сложной функции \((f(g(x))' = f'(x)g'(x)\), получаем \((\ln(\frac{x-1}{x+1}))' = \frac{1}{\frac{x-1}{x+1}}*(\frac{x-1}{x+1})' = \), \( = \frac{x+1}{x-1}*\frac{x+1 - x+1}{(x+1)^2} = \frac{2}{x^2-1} \), подставляем $$ = \lim_{x \to \infty}\frac{\frac{2}{x^2-1}}{-\frac{1}{(x-2)^2}} =
-\lim_{x \to \infty}\frac{2(x-2)^2}{x^2-1}=-2$$
Ответ: \(\lim_{x \to \infty}(x-2)[\ln(x-1)-\ln(x+1)] = -2\)
