Найдем предел: $$ \lim_{x \to 0}\frac{3x}{\arctan(2x)}$$
Решение:
1. Найдем предел $$ \lim_{x \to 0}\frac{3x}{\arctan(2x)} = \frac{3*0}{0} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Данную неопределенность будем разрешать, применяя правило Лопиталя:
2. Правило Лопиталя:
Определение: Правило Лопиталя если \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}\), то $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$ Применяем правило Лопиталя, т.е. найдем производные числителя и знаменателя $$ \lim_{x \to 0}\frac{3x}{\arctan(2x)} = \lim_{x \to 0}\frac{(3x)'}{(\arctan(2x))'} = $$ применим формулу производной арктангенса \((\arctan(x))' = \frac{1}{1+x^2}\), получаем $$ = \lim_{x \to 0}\frac{3}{\frac{2}{1+4x^2}} = \lim_{x \to 0}\frac{3(1+4x^2)}{2} = $$$$= \frac{3(1+4*0^2)}{2} = \frac{3}{2} $$
Ответ: \( \lim_{x \to 0}\frac{3x}{\arctan(2x)} = \frac{3}{2}\)
