Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Найти границу функции \[\lim_{x \to 0}\frac{3x}{\arctan(2x)}\]


0 Голосов
Робак Евгений
Posted Ноябрь 2, 2014 by Робак Евгений Андреевич
Категория: Математический анализ
Всего просмотров: 504

Найти границу функции  \[\lim_{x \to 0}\frac{3x}{\arctan(2x)}\]

Теги: предел, найти предел, раскрытие неопределенности, правило Лопиталя

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Ноябрь 2, 2014 by Вячеслав Моргун

Найдем предел: $$ \lim_{x \to 0}\frac{3x}{\arctan(2x)}$$
Решение:
1. Найдем предел  $$ \lim_{x \to 0}\frac{3x}{\arctan(2x)} =  \frac{3*0}{0} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Данную неопределенность будем разрешать, применяя правило Лопиталя:


2. Правило Лопиталя:
Определение
: Правило Лопиталя если \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}\), то $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$ Применяем правило Лопиталя, т.е. найдем производные числителя и знаменателя $$  \lim_{x \to 0}\frac{3x}{\arctan(2x)} =  \lim_{x \to 0}\frac{(3x)'}{(\arctan(2x))'} = $$ применим формулу производной арктангенса \((\arctan(x))' = \frac{1}{1+x^2}\), получаем $$ = \lim_{x \to 0}\frac{3}{\frac{2}{1+4x^2}} =  \lim_{x \to 0}\frac{3(1+4x^2)}{2} = $$$$= \frac{3(1+4*0^2)}{2} = \frac{3}{2} $$
Ответ: \( \lim_{x \to 0}\frac{3x}{\arctan(2x)} = \frac{3}{2}\)