Решение: найдем предел \( \lim_{x \to \infty}(\sqrt{4x^2+7x}-\sqrt{4x^2-9x-11})\)
при \(x \to \infty\) функция представляет собой разность двух бесконечно больших функций, т.е. имеет неопределенность вида \(\infty - \infty\) $$\lim_{x \to \infty}(\sqrt{4x^2+7x}-\sqrt{4x^2-9x-11}) = \infty - \infty$$ Для нахождения предела нужно избавиться от этой неопределенности, т.е. умножим и разделим на одну и туже функцию. В данном случае воспользуемся формулой разности квадратов \(a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\), т.е. домножим и разделив на сопряженное выражение \(\sqrt{4x^2+7x}+\sqrt{4x^2-9x-11}\) $$\lim_{x \to \infty}(\sqrt{4x^2+7x}-\sqrt{4x^2-9x-11}) = $$$$ = \lim_{x \to \infty}(\sqrt{4x^2+7x}-\sqrt{4x^2-9x-11})*\frac{\sqrt{4x^2+7x}+\sqrt{4x^2-9x-11}}{\sqrt{4x^2+7x}+\sqrt{4x^2-9x-11}} = $$$$ = \lim_{x \to \infty}\frac{4x^2+7x -4x^2+9x+11}{\sqrt{4x^2+7x}+\sqrt{4x^2-9x-11}} = $$$$ = \lim_{x \to \infty}\frac{16x +11}{\sqrt{4x^2+7x}+\sqrt{4x^2-9x-11}} = $$ Вынесем из знаменателя (из под корня) член с наибольшей степенью \(\sqrt{x^2} = x\), а из числителя x, получаем $$ = \lim_{x \to \infty}\frac{x}{x}\frac{16 +\frac{11}{x}}{\sqrt{4+\frac{7x}{x^2}}+\sqrt{4-\frac{9x}{x^2}-\frac{11}{x^2}}} = $$$$ =\frac{16 +\frac{11}{\infty}}{\sqrt{4+\frac{7}{\infty}}+\sqrt{4- \frac{9}{\infty} -\frac{11}{\infty}}} = $$$$= \frac{16 +0}{\sqrt{4+0}+\sqrt{4-0-0}} =\frac{16}{2+2} =4$$
Ответ: \(\lim_{x \to \infty}(\sqrt{4x^2+7x}-\sqrt{4x^2-9x-11}) = 4\)
