Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Найти интервал сходимости $$\sum_{n\in1}^\infty\ \frac{1}{n} * (\frac{2x}{1+x^{2}})^n$$ степенногог


0 Голосов
Олег Ифташев
Posted Октябрь 31, 2014 by Олег Ифташев
Категория: Математический анализ
Всего просмотров: 829

Найти интервал сходимости $$\sum_{n\in1}^\infty\ \frac{1}{n} * (\frac{2x}{1+x^{2}})^n$$ степенного ряда и установить поведение ряда на концах интервала.

Теги: степенной ряд, радиус сходимости степенного ряда, область сходимости степенного ряда

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Октябрь 31, 2014 by Вячеслав Моргун

Решение: исследовать степенной ряд \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} * (\frac{2x}{1+x^2})^n \)на сходимость - это означает, что будем искать  интервал сходимости и исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.


Алгоритм исследования на сходимость степенного ряда:



  • 1. Найдем интервал сходимости.
    1.1. составим ряд из абсолютных величин членов степенного ряда, применим один из признаков сходимости числовых рядов, найдем интеграл сходимости:
    составим ряд из абсолютных величин членов заданного ряда $$ \sum_{n=1}^\infty |\frac{1}{n} * (\frac{2x}{1+x^2})^n| = (\frac{2|x|}{1+x^2})^n + \frac{1}{2} * (\frac{2|x|}{1+x^2})^n+ ... +$$ 
    применим к ряду  признак Даламбера в граничной форме
    если при \(n \to \infty\) существует предел отношения следующего члена ряда к предыдущему $$\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = l$$ то при \(l < 1\) сходится, при \(l > 1\) расходится, при \(l = 1\) требуются дополнительные исследования. 


получим необходимые члены ряда
\(u_n = \frac{1}{n} * (\frac{2x}{1+x^2})^n\)
\(u_{n+1} = \frac{1}{n+1} * (\frac{2x}{1+x^2})^{n+1}\) 


Применяем признак Даламбера $$l = \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{n+1} * (\frac{2|x|}{1+x^2})^{n+1} }{ \frac{1}{n} * (\frac{2|x|}{1+x^2})^{n} }= \lim_{n \to \infty}  \frac{1}{n+1} * (\frac{2|x|}{1+x^2})^{n+1}* n * (\frac{1+x^2}{2|x|})^{n} = $$$$=  \lim_{n \to \infty}  \frac{n}{n+1} * \frac{2|x|}{1+x^2} = \frac{2|x|}{1+x^2} \lim_{n \to \infty}  \frac{n}{n+1}= \frac{2|x|}{1+x^2} $$ Ряд сходится, если \(l = \frac{2|x|}{1+x^2}  < 1\), т.е. $$ \frac{2|x|}{1+x^2}  < 1 => 2|x| < 1+x^2 =>$$$$ 0 < 1- 2|x|+x^2 => \begin{cases} 1- 2x+x^2 > 0 & при \quad x > 0\\1+ 2x+x^2 > 0 & при \quad x > 0\end{cases}=> $$$$ \begin{cases} x \ne 1 & при \quad x > 0\\ x \ne -1 & при \quad x > 0\end{cases}=>$$ Получили интервалы сходимости \( x \in (-\infty;-1) \cup (-1;1) \cup (1;+\infty)\)



  • 2. исследуем поведение ряда на границах интервала сходимости \((-1;1)\).


левая граница \(x=-1\), получаем числовой ряд $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} * (-1)^n$$ Получили знакопеременный ряд.
Согласно теоремы Лейбница (признак сходимости): если член знакопеременного ряда \(u_1 - u_2 + ... + (-1)^{n+1}u_n+ ...\), начиная с некоторого, монотонно убывают по абсолютной величине \(|u_n| > |n_{n+1}|\) и общий член ряда при \(n \to \infty\) стремится к 0 \(\lim_{n \to \infty} u_n = 0\), то ряд сходится.
Находим предел общего члена ряда $$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} = 0 $$ ряд сходится, т.е. на левой границе \(x=-1\) интервала сходимости заданный степенной ряд сходится.
правая граница \(x=1\), получаем числовой ряд $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$ Получили знакопостоянный, гармонический ряд, он расходится.
Получили, что в точке \(x=-1\) - ряд также сходится. 
Таким образом область сходимости \((-\infty; 1) \cup (1;\infty)\) .



  • 3. найдем радиус сходимости.  найдем радиус сходимости при помощи формулы \(R = \lim_{n \to \infty}| \frac{c_n}{c_{n+1}}|\), где \(c_n= \frac{1}{n}; \quad c_{n+1} = \frac{1}{n+1}\), тогда $$R = \lim_{n \to \infty}| \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n+1}}| = 1$$
    радиус сходимости равен \(R= 1\)