Решение: исследовать степенной ряд \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} * (\frac{2x}{1+x^2})^n \)на сходимость - это означает, что будем искать интервал сходимости и исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.
Алгоритм исследования на сходимость степенного ряда:
- 1. Найдем интервал сходимости.
1.1. составим ряд из абсолютных величин членов степенного ряда, применим один из признаков сходимости числовых рядов, найдем интеграл сходимости:
составим ряд из абсолютных величин членов заданного ряда $$ \sum_{n=1}^\infty |\frac{1}{n} * (\frac{2x}{1+x^2})^n| = (\frac{2|x|}{1+x^2})^n + \frac{1}{2} * (\frac{2|x|}{1+x^2})^n+ ... +$$
применим к ряду признак Даламбера в граничной форме:
если при \(n \to \infty\) существует предел отношения следующего члена ряда к предыдущему $$\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = l$$ то при \(l < 1\) сходится, при \(l > 1\) расходится, при \(l = 1\) требуются дополнительные исследования.
получим необходимые члены ряда
\(u_n = \frac{1}{n} * (\frac{2x}{1+x^2})^n\)
\(u_{n+1} = \frac{1}{n+1} * (\frac{2x}{1+x^2})^{n+1}\)
Применяем признак Даламбера $$l = \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{1}{n+1} * (\frac{2|x|}{1+x^2})^{n+1} }{ \frac{1}{n} * (\frac{2|x|}{1+x^2})^{n} }= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} * (\frac{2|x|}{1+x^2})^{n+1}* n * (\frac{1+x^2}{2|x|})^{n} = $$$$= \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} * \frac{2|x|}{1+x^2} = \frac{2|x|}{1+x^2} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}= \frac{2|x|}{1+x^2} $$ Ряд сходится, если \(l = \frac{2|x|}{1+x^2} < 1\), т.е. $$ \frac{2|x|}{1+x^2} < 1 => 2|x| < 1+x^2 =>$$$$ 0 < 1- 2|x|+x^2 => \begin{cases} 1- 2x+x^2 > 0 & при \quad x > 0\\1+ 2x+x^2 > 0 & при \quad x > 0\end{cases}=> $$$$ \begin{cases} x \ne 1 & при \quad x > 0\\ x \ne -1 & при \quad x > 0\end{cases}=>$$ Получили интервалы сходимости \( x \in (-\infty;-1) \cup (-1;1) \cup (1;+\infty)\)
- 2. исследуем поведение ряда на границах интервала сходимости \((-1;1)\).
левая граница \(x=-1\), получаем числовой ряд $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} * (-1)^n$$ Получили знакопеременный ряд.
Согласно теоремы Лейбница (признак сходимости): если член знакопеременного ряда \(u_1 - u_2 + ... + (-1)^{n+1}u_n+ ...\), начиная с некоторого, монотонно убывают по абсолютной величине \(|u_n| > |n_{n+1}|\) и общий член ряда при \(n \to \infty\) стремится к 0 \(\lim_{n \to \infty} u_n = 0\), то ряд сходится.
Находим предел общего члена ряда $$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} = 0 $$ ряд сходится, т.е. на левой границе \(x=-1\) интервала сходимости заданный степенной ряд сходится.
правая граница \(x=1\), получаем числовой ряд $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$$ Получили знакопостоянный, гармонический ряд, он расходится.
Получили, что в точке \(x=-1\) - ряд также сходится.
Таким образом область сходимости \((-\infty; 1) \cup (1;\infty)\) .
- 3. найдем радиус сходимости. найдем радиус сходимости при помощи формулы \(R = \lim_{n \to \infty}| \frac{c_n}{c_{n+1}}|\), где \(c_n= \frac{1}{n}; \quad c_{n+1} = \frac{1}{n+1}\), тогда $$R = \lim_{n \to \infty}| \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n+1}}| = 1$$
радиус сходимости равен \(R= 1\)
