Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Исследовать на сходимость ряд $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{1}{6n+1} $$


0 Голосов
Олег Ифташев
Posted Октябрь 31, 2014 by Олег Ифташев
Категория: Математический анализ
Всего просмотров: 568

Исследовать на сходимость ряд $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{1}{6n+1} $$


Теги: исследовать знакопеременный ряд на сходимость, признак Лейбница

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Октябрь 31, 2014 by Вячеслав Моргун

Решение: исследуем на сходимость ряда \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{6n+1} \).


Алгоритм исследования знакопеременного ряда


Знакопеременный ряд \( \sum_{n=1}^{\infty}u_n\) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|\). Из сходимости абсолютно сходящегося ряда \(\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|\) следует сходимость ряда \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)


1. исследуем ряд на абсолютную сходимость


для этого составим ряд абсолютных величин \( \sum_{n=1}^{\infty} |(-1)^{n+1}\frac{1}{6n+1}| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{6n+1}\) и применим


Интегральный признак Коши:
Пусть задан числовой ряд \(u_1+u_2+u_3+...+u_n+... \), \((u_n > 0)\), членами которого является функция натурального аргумента, т.е \(u_n = f(n)\). Пускай \(f(x)\) - положительная непрерывная функция, которая монотонно убывает в интервале \([1;\infty)\) при \(x \to \infty\). 
Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}f(n)\) сходится, если сходится несобственный интеграл \(\int_1^{\infty}f(x)dx\) и расходится, если расходится этот интеграл.


Исследование ряда на сходимость:
запишем функцию \(f(x)\) путем замены в формуле \(u_n = f(n) =  \frac{1}{6n+1}\) натуральный аргумент \(n\) на непрерывный аргумент \(x\), получаем $$ f(x) = \frac{1}{6x+1}$$ Функция \(f(x)\) положительная и монотонно убывающая в интервале \([1;\infty)\), поэтому для исследования на сходимость можем применить интегральный признак сходимости Коши


применяем интегральный признак сходимости Коши
Найдем несобственный интеграл $$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{6x+1}dx = \frac{1}{6} \lim_{b \to \infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x+\frac{1}{6}}dx = $$$$ = \frac{1}{6}[ \lim_{b \to \infty} \ln(b+\frac{1}{6}) - \ln(1+\frac{1}{6})] =  \infty$$ Интеграл расходится, значит и ряд абсолютных величин расходится.


2. если ряд абсолютных величин расходится, то исследуем при помощи 
признака Лейбница:
если члены знакопеременного ряда \( \sum_{n=1}^{\infty}u_n\) начиная с некоторого, монотонно убывают по абсолютной величине \( |u_n|  >  |u_{n+1}|\) и общий член ряда \( \lim_{n \to \infty} u_n=0\), то ряд сходится. В этом случае ряд называется условно сходящимся.


Исследуем на монотонность
\(|u_n|  = |(-1)^{n+1} \frac{1}{6n+1}| = \frac{1}{6n+1}\)
\(|u_{n+1}|  = |(-1)^{n+2} \frac{1}{6(n+1)+1}| =  \frac{1}{6n+7}\)
Сравниваем члены  $$ \frac{1}{6n+1} >  \frac{1}{6n+7} => |u_n| > |u_{n+1}|$$ ряд монотонно убывающий Найдем предел общего члена ряда $$\lim_{n \to \infty} = \frac{1}{6n+1} = 0$$ 
Условия теоремы Лейбница выполнилось, ряд условно сходящийся


Ответ: ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{6n+1} \) сходится условно.