Решение: исследуем на сходимость ряда \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{6n+1} \).
Алгоритм исследования знакопеременного ряда
Знакопеременный ряд \( \sum_{n=1}^{\infty}u_n\) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|\). Из сходимости абсолютно сходящегося ряда \(\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|\) следует сходимость ряда \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)
1. исследуем ряд на абсолютную сходимость
для этого составим ряд абсолютных величин \( \sum_{n=1}^{\infty} |(-1)^{n+1}\frac{1}{6n+1}| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{6n+1}\) и применим
Интегральный признак Коши:
Пусть задан числовой ряд \(u_1+u_2+u_3+...+u_n+... \), \((u_n > 0)\), членами которого является функция натурального аргумента, т.е \(u_n = f(n)\). Пускай \(f(x)\) - положительная непрерывная функция, которая монотонно убывает в интервале \([1;\infty)\) при \(x \to \infty\).
Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}f(n)\) сходится, если сходится несобственный интеграл \(\int_1^{\infty}f(x)dx\) и расходится, если расходится этот интеграл.
Исследование ряда на сходимость:
запишем функцию \(f(x)\) путем замены в формуле \(u_n = f(n) = \frac{1}{6n+1}\) натуральный аргумент \(n\) на непрерывный аргумент \(x\), получаем $$ f(x) = \frac{1}{6x+1}$$ Функция \(f(x)\) положительная и монотонно убывающая в интервале \([1;\infty)\), поэтому для исследования на сходимость можем применить интегральный признак сходимости Коши
применяем интегральный признак сходимости Коши
Найдем несобственный интеграл $$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{6x+1}dx = \frac{1}{6} \lim_{b \to \infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x+\frac{1}{6}}dx = $$$$ = \frac{1}{6}[ \lim_{b \to \infty} \ln(b+\frac{1}{6}) - \ln(1+\frac{1}{6})] = \infty$$ Интеграл расходится, значит и ряд абсолютных величин расходится.
2. если ряд абсолютных величин расходится, то исследуем при помощи
признака Лейбница:
если члены знакопеременного ряда \( \sum_{n=1}^{\infty}u_n\) начиная с некоторого, монотонно убывают по абсолютной величине \( |u_n| > |u_{n+1}|\) и общий член ряда \( \lim_{n \to \infty} u_n=0\), то ряд сходится. В этом случае ряд называется условно сходящимся.
Исследуем на монотонность
\(|u_n| = |(-1)^{n+1} \frac{1}{6n+1}| = \frac{1}{6n+1}\)
\(|u_{n+1}| = |(-1)^{n+2} \frac{1}{6(n+1)+1}| = \frac{1}{6n+7}\)
Сравниваем члены $$ \frac{1}{6n+1} > \frac{1}{6n+7} => |u_n| > |u_{n+1}|$$ ряд монотонно убывающий Найдем предел общего члена ряда $$\lim_{n \to \infty} = \frac{1}{6n+1} = 0$$
Условия теоремы Лейбница выполнилось, ряд условно сходящийся
Ответ: ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{6n+1} \) сходится условно.
