найдем интеграл$$\int_{-\pi}^{\pi}(\frac{1}{3}\cos(\frac{x}{3})+4*\sin(4x)) \, dx = $$ найдем значение неопределенного интеграла \(\int (\frac{1}{3}\cos(\frac{x}{3})+4*\sin(4x)) \, dx\) затем подставим границы и получим значение искомого определенного интеграла. Для решения воспользуемся формулой интеграла суммы \(\int(f(x)+g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx\)
получим \( \frac{1}{3}* \int\cos(\frac{x}{3}) \, dx + 4* \int \sin(4x)) \, dx = \) найдем оба интеграла методом замены переменной \( \int \cos( \frac{x}{3}) \, dx =\) введем замену \(\frac{x}{3} = u => dx = 3du => \int \cos(u)*du = 3*\sin(u) = 3 \sin(\frac{x}{3}) \) аналогично и второй интеграл \( \int \sin(4x) \, dx = -\frac{1}{4}\cos 4x \) подставляем полученное решение в формулу определенного интеграла $$ = (\frac{1}{3}*3 \sin\frac{x}{3} - 4*\frac{1}{4}\cos 4x) |_{-\pi}^{\pi} = (\sin\frac{x}{3} - \cos 4x)|_{-\pi}^{\pi} = $$$$(\sin\frac{\pi}{3} - \cos{4\pi}) - (\sin(-\frac{\pi}{3}) - \cos(-4\pi) = (\frac{\sqrt 3}{2} - 1) - (-\frac{\sqrt 3}{2} -1)=2*\frac{\sqrt 3}{2} =\sqrt{3}$$Ответ \(\int_{-\pi}^{\pi}(\frac{1}{3}\cos(\frac{x}{3})+4*\sin(4x)) \, dx = \sqrt 3\)
