Решение: исследуем на сходимость ряда \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n}\frac{n!}{1*2*5...(2n-1)} \).
Знакопеременный ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|\). Из сходимости абсолютно сходящегося ряда \(\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|\) следует сходимость ряда \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)
Алгоритм исследования знакопеременного ряда
исследуем ряд на абсолютную сходимость,
для этого составим ряд абсолютных величин \( \sum_{n=1}^\infty |(-1)^{n}\frac{n!}{1*2*5...(2n-1)}|= \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{1*2*5...(2n-1)}\) и применим
признак Даламбера в предельной форме для рядов с положительными членами:
пусть задано числовой ряд \(u_1 + u_2 ... u_n ...\), если существует предел $$\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$$ то
при \( q < 1\) ряд сходится,
при \( q > 1\) расходится, а
при \( q = 1\) требуются дополнительные исследования ряда
1. Запишем общий член \(u_n = \frac{n!}{1*2*5...(2n-1)}\) и член \(u_{n+1} = \frac{((n+1)!}{1*2*5...(2(n+1)-1)} = \frac{((n+1)!}{1*2*5...(2n+1)}\)
2. Найдем предел $$ \lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{ \frac{((n+1)!}{1*2*5...(2n+1)} }{ \frac{n!}{1*2*5...(2n-1)}} = \lim_{n \to \infty} \frac{((n+1)!(1*2*5...(2n-1))}{1*2*5...(2n+1)n!} = $$$$ = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+1} = \frac{1}{2}$$ получили предел \( q =\frac{1}{2} < 1\), т.е. ряд сходится.
т.к. ряд абсолютных величин сходится, то и ряд \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n}\frac{n!}{1*2*5...(2n-1)}\) сходится.
Ответ: ряд \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n}\frac{n!}{1*2*5...(2n-1)} \) сходится абсолютно.
