Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Исследовать на сходимость ряд $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n}\frac{n!}{1*2*5...(2n-1)}$$ с помощью дост


0 Голосов
Олег Ифташев
Posted Октябрь 31, 2014 by Олег Ифташев
Категория: Математический анализ
Всего просмотров: 498

Исследовать на сходимость ряд $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n}\frac{n!}{1*2*5...(2n-1)}$$ с помощью достаточных признаков сходимости  

Теги: исследовать ряд на сходимость, признак Лейбница

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Октябрь 31, 2014 by Вячеслав Моргун

Решение: исследуем на сходимость ряда \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n}\frac{n!}{1*2*5...(2n-1)} \).


Знакопеременный ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|\). Из сходимости абсолютно сходящегося ряда \(\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|\) следует сходимость ряда \(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)


Алгоритм исследования знакопеременного ряда


исследуем ряд на абсолютную сходимость, 
для этого составим ряд абсолютных величин \( \sum_{n=1}^\infty |(-1)^{n}\frac{n!}{1*2*5...(2n-1)}|=  \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{1*2*5...(2n-1)}\) и применим
признак Даламбера в предельной форме для рядов с положительными членами
пусть задано числовой ряд \(u_1 + u_2 ... u_n ...\), если существует предел  $$\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$$ то 


при \( q < 1\) ряд сходится, 
при \( q  > 1\) расходится, а 
при \( q = 1\) требуются дополнительные исследования ряда 


1. Запишем общий член \(u_n = \frac{n!}{1*2*5...(2n-1)}\) и член \(u_{n+1} = \frac{((n+1)!}{1*2*5...(2(n+1)-1)} = \frac{((n+1)!}{1*2*5...(2n+1)}\)
2. Найдем предел $$ \lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{ \frac{((n+1)!}{1*2*5...(2n+1)} }{ \frac{n!}{1*2*5...(2n-1)}} =  \lim_{n \to \infty} \frac{((n+1)!(1*2*5...(2n-1))}{1*2*5...(2n+1)n!} = $$$$ = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+1} = \frac{1}{2}$$ получили предел \( q =\frac{1}{2} < 1\), т.е. ряд сходится.
т.к. ряд абсолютных величин сходится, то и ряд \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n}\frac{n!}{1*2*5...(2n-1)}\) сходится.


 Ответ: ряд \(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n}\frac{n!}{1*2*5...(2n-1)} \) сходится абсолютно.