Решение: исследуем ряд на сходимость \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n^3+2}\).
Для исследования применим интегральный признак Коши:
Пусть задан числовой ряд \(u_1+u_2+u_3+...+u_n+... \), \((u_n > 0)\), членами которого является функция натурального аргумента, т.е \(u_n = f(n)\). Пускай \(f(x)\) - положительная непрерывная функция, которая монотонно убывает в интервале \([1;\infty)\) при \(x \to \infty\).
Ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}f(n)\) сходится, если сходится несобственный интеграл \(\int_1^{\infty}f(x)dx\) и расходится, если расходится этот интеграл.
Исследование ряда на сходимость:
1. запишем функцию \(f(x)\) путем замены в формуле \(u_n = f(n) = \frac{n^2}{n^3+2}\) натуральный аргумент \(n\) на непрерывный аргумент \(x\), получаем $$ f(x) = \frac{x^2}{x^3+2}$$ Функция \(f(x)\) положительная и монотонно убывающая в интервале \([1;\infty)\), поэтому для исследования на сходимость можем применить интегральный признак сходимости Коши
2. применяем интегральный признак сходимости Коши
Найдем несобственный интеграл $$\int_{1}^{\infty}\frac{x^2}{x^3+2}dx = \lim_{b \to \infty}\int_{1}^{b}\frac{x^2}{x^3+2}dx = $$ Применим метод замены подынтегральной переменной, введем замену \(x^3=t => 3x^2dx = dt => x^2dx = \frac{dt}{3}\), пересчитаем границы \(x = 1 => t = x^3 = 1; \quad x=\infty => t = \infty \), подставляем в интеграл $$ = \lim_{b \to \infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{3(t+2)}dt = \lim_{b \to \infty}\frac{1}{3} \ln(t+2)|_1^b = $$$$ = \frac{1}{3}[\lim_{b \to \infty}\ln(b+2) - \ln(1+2)] = \frac{1}{3}[\infty - \ln(3)] = \infty$$ Интеграл расходится, значит и ряд расходится.
Ответ: ряд \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n^3+2}\) - расходится
