Решение: исследуем ряд на сходимость \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1*2*3*...*(n+1)}{10^{n}}\)
Для исследования на сходимость применим ряда признак Даламбера в предельной форме для рядов с положительными членами: 
пусть задано числовой ряд \(u_1 + u_2 ... u_n ...\), если существует предел  $$\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$$ то
при \( q < 1\) ряд сходится,
при \( q  > 1\) расходится, а
при \( q = 1\) требуются дополнительные исследования ряда.

Запишем общий член \(u_n = \frac{1*2*3*...*(n+1)}{10^{n}} = \frac{(n+1)!}{10^{n}}\) и член \(u_{n+1} = \frac{(n+1+1)!}{10^{n+1}} = \frac{(n+2)!}{10^{n+1}}\) 
Найдем предел $$\lim_{n \to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{(n+2)!}{10^{n+1}}}{ \frac{(n+1)!}{10^{n}}} =  \lim_{n \to \infty}\frac{(n+2)!10^{n}}{10^{n+1}(n+1)!}   = $$$$ = \lim_{n \to \infty}\frac{(n+2)}{10} = \infty$$ получили предел \( q = \infty > 1\), т.е. ряд расходится.
Ответ: ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1*2*3*...*(n+1)}{10^{n}}\) - расходится.