Найдем интеграл $$\int_0^1 (x + \frac{3}{\sqrt{1 + 3 x}}) dx$$Согласно теоремы Ньютона-Лейбница $$\int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a)$$ т.е. необходимо найти первообразную функции \( f(x) \) а затем найти разность значений первообразной на концах интервала. Найдем первообразную $$\int (x + \frac{3}{\sqrt{1 + 3 x}}) \, dx= \int x \, dx + \int \frac{3}{\sqrt{1 + 3 x}} \, dx$$ найдем значения интегралов $$ \int x \, dx = \frac{x^{1+1}}{1+1}= \frac{x^2}{2}$$ $$\int \frac{3}{\sqrt{1 + 3 x}} \, dx = $$ найти интеграл методом замены переменной, пусть \(1+3x = u => dx = \frac{du}{3}\) подставляем $$\int \frac{3}{\sqrt{u}} \, \frac{du}{3} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \, du = \int u^{-\frac{1}{2}} \, du = \frac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} =2 u^{\frac{1}{2}} = $$ применим обратную замену $$= 2*(1+3x)^{\frac{1}{2}} $$подставим полученный результат в исходный интеграл и учтем теорему Ньютона-Лейбница $$\int_0^1 (x + \frac{3}{\sqrt{1 + 3 x}}) \, dx = \frac{x^2}{2}|_0^1 + 2*(1+3x)^{\frac{1}{2}}|_0^1 = $$$$ \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} + 2*(1+3*1)^{\frac{1}{2}} - 2*(1+3*0)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} - 0 + 2*4^{\frac{1}{2}} - 2*1^{\frac{1}{2}} =$$$$= \frac{1}{2} - 0 + 2*2 - 2 =\frac{5}{2}$$ Ответ: $$\int_0^1 (x + \frac{3}{\sqrt{1 + 3 x}}) dx = \frac{5}{2}$$
