Трикутник АВС задано координатами вершин А(-14; -15), В(0; 13), С(-21;-1). Знайти рівняння сторони А

1) Уравнения стороны AB треугольника.

уравнение стороны AB, при известных координатах вершины А(-14; -15), В(0; 13) $$ AB \quad \frac{x+14}{0+14} = \frac{y+15}{13+15} => y = 2x +13 $$
Ответ: уравнение стороны \(AB\): \(y = 2x +13\) 

уравнение стороны BC, при известных координатах вершины В(0; 13), С(-21;-1) $$BC \quad \frac{x-0}{-21-0} = \frac{y-13}{-1-13} => y = \frac{2}{3}x +13$$
Ответ: уравнение стороны \(BC\): \( \frac{2}{3}x +13\)  

уравнение стороны AC, при известных координатах вершины А(-14; -15), С(-21;-1) $$AC \quad \frac{x+14}{-21+14} = \frac{y+15}{-1+15} => y = -2x -43$$ 
Ответ: уравнение стороны \(AC\): \(y = -2x -43\)   

2) Уравнение высоты AD, опущенной из вершины \(A\) на сторону \(BC\).
Высота AD опущена из вершины A на сторону BC, т.е. из условия известна одна координата точки А(-14; -15) и направление - прямая перпендикулярна прямой BC. Воспользуемся свойством угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: \(k_1 = -\frac{1}{k_2}\). Найдем угловой коэффициент \(k_1\) при \(k_2=k_{BC} =-frac{2}{3}\), получим \(k_{AD} = -\frac{1}{k_{BC}} = - \frac{3}{2}\). Найдем уравнение прямой AD, для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении $$ y - y_0 = k(x - x_0) \quad (2)$$ получим $$ y +15 = -\frac{3}{2}(x + 14) => y = -\frac{3}{2}x -36$$
Ответ: уравнение высоты AD \( y =  -\frac{3}{2}x -36 \)

3) Длина высоты AD 
Найдем расстояние от точки до прямой, которое рассчитывается по формуле \(d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \), где \((x_0;y_0)\) - координаты точки, а 
\(Ax_0+By_0+C =0\) - общее уравнение прямой, расстояние до которой ищется.
приводим уравнение прямой \(BC\) к общему виду \( y = \frac{2}{3}x +13 =>  2x - 3y +39 =0 \), где \(A = 2\), \(B = -3\), координаты точки А(-14; -15) => \(x_0=6;y_0=-16\) подставляем в формулу $$d = \frac{|2*(-14) - 3*(-15) +39|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}} = \frac{56}{\sqrt{13}} \approx 15,53$$

Ответ: длина высоты \(AD\) равна \(AD =  \frac{56}{\sqrt{13}} \approx 15,53\)

4) Площадь треугольника
Площадь треугольника будем искать по формуле \(S = \frac{1}{2}ah\). Длина высоты уже известна см. п. 3) \(h  = AD =  \frac{56}{\sqrt{13}}\). Необходимо найти длину стороны \(BC\) как расстояние между точками В(0; 13), С(-21;-1). Расстояние между точками находится по формуле Пифагора \(a = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\), получаем $$a = \sqrt{(-21-0)^2+(-1-13)^2} =7\sqrt{13}$$ подставляем в формулу площади треугольника $$S_{ΔABC} = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \frac{56}{\sqrt{13}}*7\sqrt{13} = 196$$ 
Ответ: площадь треугольника равна \(S_{ΔABC} = 196\)

5) Уравнение медианы BK треугольника \(ΔАВС\)
Для нахождения медианы BK есть координата одной точки В(0; 13), а координаты второй точки прямой \(K\) найдем как координаты середины отрезка \(AC\) при известных координатах А(-14; -15), С(-21;-1) по формуле \( K(\frac{x_A+x_C}{2};\frac{y_A+y_C}{2})\) => \( K(\frac{-21-14}{2};\frac{-1-15}{2}) \) => \( K(-17.5; -8) \)
Находим уравнение прямой \(BK\) по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки  В(0; 13) и K(-17.5; -8)  уравнение (1)$$ \frac{x-0}{-17.5-0}=\frac{y-13}{-8-13} => y =  \frac{6}{5}x +13$$
Ответ: уравнение медианы BK \( y =  \frac{6}{5}x +13\)

6) Уравнение биссектрисы AE
Воспользуемся свойством биссектрисы угла: расстояние от точки биссектрисы до сторон угла равны. Между двумя пересекающимися прямыми существует две биссектрисы (биссектрисы смежных углов). Пусть точка с координатами (x;y) принадлежит биссектрисе, тогда расстояние от этой точки до стороны угла (стороны треугольника) рассчитывается по формуле: расстояние от точки до прямой \(d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \)
Найдем расстояние от этой точки до прямых
a) AC. Получим общее уравнение прямой AC \(y = -2x -43 => 2x + y +43 =0\), где \(A=2;B=1\), тогда расстояние от точки (x;y) до этой прямой будет равно \(d_1 = \frac{|2x + y +43|}{\sqrt{2^2+1^2}}= \frac{|2x + y +43|}{\sqrt{5}}\)
b) AB. Получим общее уравнение прямой AB \(y = 2x +13 => 2x - y + 13 =0\), где \(A=2;B=-1\), тогда расстояние от точки (x;y) до этой прямой будет равно \(d_2 = \frac{|2x - y + 13|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}= \frac{|2x - y + 13|}{\sqrt{5}}\) 
c) Согласно свойства биссектрисы угла, расстояния равны \(d_1=d_2\) . Приравняем их $$\frac{|2x + y +43|}{\sqrt{5}} = \frac{|2x - y + 13|}{\sqrt{5}} => |2x + y +43| =|2x - y + 13| $$ Нужно открыть модуль. При раскрытии модуля нужно рассмотреть 4 случая, но они попарно дадут одинаковые ответы, поэтому рассмотрим 2 случая. 
Пусть  \(2x + y +43 > 0 ; 2x - y + 13  >  0\), тогда  получаем   \( 2x + y +43 = 2x - y + 13 => y = -15\) 
Пусть  \(2x + y +43 > 0 ; 2x - y + 13 <  0 \), тогда  получаем   \( 2x + y +43 =  -2x + y - 13 => x = -14\)  
Получили две  биссектрисы. Выбираем нужную, смотрим на рисунок. Это будет \(x = -14\)

Ответ: уравнение биссектрисы AE: \(x=-14\)