Трикутник АВС задано координатами вершин А(-14; -15), В(0; 13), С(-21;-1). Знайти рівняння сторони А

1) Уравнения стороны AB треугольника.

уравнение стороны AB, при известных координатах вершины А(-14; -15), В(0; 13) $$ AB \quad \frac{x+14}{0+14} = \frac{y+15}{13+15} => y = 2x +13 $$
Ответ: уравнение стороны \(AB\): \(y = 2x +13\) 

уравнение стороны BC, при известных координатах вершины В(0; 13), С(-21;-1) $$BC \quad \frac{x-0}{-21-0} = \frac{y-13}{-1-13} => y = \frac{2}{3}x +13$$
Ответ: уравнение стороны \(BC\): \( \frac{2}{3}x +13\)  

уравнение стороны AC, при известных координатах вершины А(-14; -15), С(-21;-1) $$AC \quad \frac{x+14}{-21+14} = \frac{y+15}{-1+15} => y = -2x -43$$ 
Ответ: уравнение стороны \(AC\): \(y = -2x -43\)   

3) Длина высоты AD 
Найдем расстояние от точки до прямой, которое рассчитывается по формуле \(d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \), где \((x_0;y_0)\) - координаты точки, а 
\(Ax_0+By_0+C =0\) - общее уравнение прямой, расстояние до которой ищется.
приводим уравнение прямой \(BC\) к общему виду \( y = \frac{2}{3}x +13 =>  2x - 3y +39 =0 \), где \(A = 2\), \(B = -3\), координаты точки А(-14; -15) => \(x_0=6;y_0=-16\) подставляем в формулу $$d = \frac{|2*(-14) - 3*(-15) +39|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}} = \frac{56}{\sqrt{13}} \approx 15,53$$

Ответ: длина высоты \(AD\) равна \(AD =  \frac{56}{\sqrt{13}} \approx 15,53\)

2) Уравнение высоты AD, опущенной из вершины \(A\) на сторону \(BC\).
Высота AD опущена из вершины A на сторону BC, т.е. из условия известна одна координата точки А(-14; -15) и направление - прямая перпендикулярна прямой BC. Воспользуемся свойством угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: \(k_1 = -\frac{1}{k_2}\). Найдем угловой коэффициент \(k_1\) при \(k_2=k_{BC} =-frac{2}{3}\), получим \(k_{AD} = -\frac{1}{k_{BC}} = - \frac{3}{2}\). Найдем уравнение прямой AD, для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении $$ y - y_0 = k(x - x_0) \quad (2)$$ получим $$ y +15 = -\frac{3}{2}(x + 14) => y = -\frac{3}{2}x -36$$
Ответ: уравнение высоты AD \( y =  -\frac{3}{2}x -36 \)