Трикутник АВС задано координатами вершин А(-14; -15), В(0; 13), С(-21;-1). Знайти рівняння сторони А

1) Уравнения стороны AB треугольника.

уравнение стороны AB, при известных координатах вершины А(-14; -15), В(0; 13)  $$AB \quad \frac{x+14}{0+14} = \frac{y+15}{13+15} => y = 2x +13$$
Ответ: уравнение стороны $AB$: $y = 2x +13$ 

уравнение стороны BC, при известных координатах вершины В(0; 13), С(-21;-1)  $$BC \quad \frac{x-0}{-21-0} = \frac{y-13}{-1-13} => y = \frac{2}{3}x +13$$
Ответ: уравнение стороны $BC$: $\frac{2}{3}x +13$  

уравнение стороны AC, при известных координатах вершины А(-14; -15), С(-21;-1)  $$AC \quad \frac{x+14}{-21+14} = \frac{y+15}{-1+15} => y = -2x -43$$  
Ответ: уравнение стороны $AC$: $y = -2x -43$   

8) Рисунок
 

 7) Угол между биссектрисой и медианой.
В данном случае угол между биссектрисой и осью Ox равен $90^0$, а угол между медианой и положительным направлением оси Ox равен $\alpha = arctg(k_{m})$, где $k_m = \frac{6}{5}$ - угловой коэффициент уравнения медианы $y =  \frac{6}{5}x +13$, тогда получаем $\alpha = arctg(\frac{6}{5}) \approx 50^0$, тогда угол между прямыми равен $90^0 - 50^0 \approx 40^0$

Ответ: угол между медианой и биссектрисой равен $\approx 40^0$

6) Уравнение биссектрисы AE
Воспользуемся свойством биссектрисы угла: расстояние от точки биссектрисы до сторон угла равны. Между двумя пересекающимися прямыми существует две биссектрисы (биссектрисы смежных углов). Пусть точка с координатами (x;y) принадлежит биссектрисе, тогда расстояние от этой точки до стороны угла (стороны треугольника) рассчитывается по формуле: расстояние от точки до прямой $d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
Найдем расстояние от этой точки до прямых
a) AC. Получим общее уравнение прямой AC $y = -2x -43 => 2x + y +43 =0$, где $A=2;B=1$, тогда расстояние от точки (x;y) до этой прямой будет равно $d_1 = \frac{|2x + y +43|}{\sqrt{2^2+1^2}}= \frac{|2x + y +43|}{\sqrt{5}}$
b) AB. Получим общее уравнение прямой AB $y = 2x +13 => 2x - y + 13 =0$, где $A=2;B=-1$, тогда расстояние от точки (x;y) до этой прямой будет равно $d_2 = \frac{|2x - y + 13|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}= \frac{|2x - y + 13|}{\sqrt{5}}$ 
c) Согласно свойства биссектрисы угла, расстояния равны $d_1=d_2$ . Приравняем их $$\frac{|2x + y +43|}{\sqrt{5}} = \frac{|2x - y + 13|}{\sqrt{5}} => |2x + y +43| =|2x - y + 13|$$ Нужно открыть модуль. При раскрытии модуля нужно рассмотреть 4 случая, но они попарно дадут одинаковые ответы, поэтому рассмотрим 2 случая. 
Пусть  $2x + y +43 > 0 ; 2x - y + 13  >  0$, тогда  получаем   $2x + y +43 = 2x - y + 13 => y = -15$ 
Пусть  $2x + y +43 > 0 ; 2x - y + 13 <  0$, тогда  получаем   $2x + y +43 =  -2x + y - 13 => x = -14$  
Получили две  биссектрисы. Выбираем нужную, смотрим на рисунок. Это будет $x = -14$

Ответ: уравнение биссектрисы AE: $x=-14$

5) Уравнение медианы BK треугольника $ΔАВС$
Для нахождения медианы BK есть координата одной точки В(0; 13), а координаты второй точки прямой $K$ найдем как координаты середины отрезка $AC$ при известных координатах А(-14; -15), С(-21;-1) по формуле $K(\frac{x_A+x_C}{2};\frac{y_A+y_C}{2})$ => $K(\frac{-21-14}{2};\frac{-1-15}{2})$ => $K(-17.5; -8)$
Находим уравнение прямой $BK$ по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки  В(0; 13) и K(-17.5; -8)  уравнение (1) $$\frac{x-0}{-17.5-0}=\frac{y-13}{-8-13} => y =  \frac{6}{5}x +13$$
Ответ: уравнение медианы BK $y =  \frac{6}{5}x +13$

4) Площадь треугольника
Площадь треугольника будем искать по формуле $S = \frac{1}{2}ah$. Длина высоты уже известна см. п. 3) $h  = AD =  \frac{56}{\sqrt{13}}$. Необходимо найти длину стороны $BC$ как расстояние между точками В(0; 13), С(-21;-1). Расстояние между точками находится по формуле Пифагора $a = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$, получаем $$a = \sqrt{(-21-0)^2+(-1-13)^2} =7\sqrt{13}$$ подставляем в формулу площади треугольника $$S_{ΔABC} = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \frac{56}{\sqrt{13}}*7\sqrt{13} = 196$$  
Ответ: площадь треугольника равна $S_{ΔABC} = 196$