Processing math: 1%
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Трикутник АВС задано координатами вершин А(-14; -15), В(0; 13), С(-21;-1). Знайти рівняння сторони А


0 Голосов
Мороз Мария Р�
Posted Октябрь 29, 2014 by Мороз Мария Руслановна
Категория: Аналитическая геометрия
Всего просмотров: 13962

Трикутник АВС задано координатами вершин А(-14; -15), В(0; 13), С(-21;-1). Знайти рівняння сторони АВ, бісектриси АЕ, медіани ВК, висоти АD та її довжину, площу трикутника і кут між бісектрисою та медіаною.
Если можно, все это с рисунком, что бы я попыталась разобраться  

Теги: уравнение прямой, свойство параллельных прямых, свойство перпендикулярных прямых

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Октябрь 29, 2014 by Вячеслав Моргун

1) Уравнения стороны AB треугольника.


уравнение стороны AB, при известных координатах вершины А(-14; -15), В(0; 13)  AB \quad \frac{x+14}{0+14} = \frac{y+15}{13+15} => y = 2x +13
Ответ: уравнение стороны AB: y = 2x +13 


уравнение стороны BC, при известных координатах вершины В(0; 13), С(-21;-1) BC \quad \frac{x-0}{-21-0} = \frac{y-13}{-1-13} => y = \frac{2}{3}x +13
Ответ: уравнение стороны BC:  \frac{2}{3}x +13  


уравнение стороны AC, при известных координатах вершины А(-14; -15), С(-21;-1) AC \quad \frac{x+14}{-21+14} = \frac{y+15}{-1+15} => y = -2x -43 
Ответ: уравнение стороны AC: y = -2x -43   


Другие ответы


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Ноябрь 2, 2014 by Вячеслав Моргун

2) Уравнение высоты AD, опущенной из вершины A на сторону BC.
Высота AD опущена из вершины A на сторону BC, т.е. из условия известна одна координата точки А(-14; -15) и направление - прямая перпендикулярна прямой BC. Воспользуемся свойством угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: k_1 = -\frac{1}{k_2}. Найдем угловой коэффициент k_1 при k_2=k_{BC} =-frac{2}{3}, получим k_{AD} = -\frac{1}{k_{BC}} = - \frac{3}{2}. Найдем уравнение прямой AD, для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении y - y_0 = k(x - x_0) \quad (2) получим y +15 = -\frac{3}{2}(x + 14) => y = -\frac{3}{2}x -36
Ответ: уравнение высоты AD  y =  -\frac{3}{2}x -36 


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Ноябрь 4, 2014 by Вячеслав Моргун

3) Длина высоты AD 
Найдем расстояние от точки до прямой, которое рассчитывается по формуле d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} , где (x_0;y_0) - координаты точки, а 
Ax_0+By_0+C =0 - общее уравнение прямой, расстояние до которой ищется.
приводим уравнение прямой BC к общему виду  y = \frac{2}{3}x +13 =>  2x - 3y +39 =0 , где A = 2, B = -3, координаты точки А(-14; -15) => x_0=6;y_0=-16 подставляем в формулу d = \frac{|2*(-14) - 3*(-15) +39|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}} = \frac{56}{\sqrt{13}} \approx 15,53


Ответ: длина высоты AD равна AD =  \frac{56}{\sqrt{13}} \approx 15,53


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Ноябрь 4, 2014 by Вячеслав Моргун

4) Площадь треугольника
Площадь треугольника будем искать по формуле S = \frac{1}{2}ah. Длина высоты уже известна см. п. 3) h  = AD =  \frac{56}{\sqrt{13}}. Необходимо найти длину стороны BC как расстояние между точками В(0; 13), С(-21;-1). Расстояние между точками находится по формуле Пифагора a = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}, получаем a = \sqrt{(-21-0)^2+(-1-13)^2} =7\sqrt{13} подставляем в формулу площади треугольника S_{ΔABC} = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \frac{56}{\sqrt{13}}*7\sqrt{13} = 196 
Ответ: площадь треугольника равна S_{ΔABC} = 196


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Ноябрь 4, 2014 by Вячеслав Моргун

5) Уравнение медианы BK треугольника ΔАВС
Для нахождения медианы BK есть координата одной точки В(0; 13), а координаты второй точки прямой K найдем как координаты середины отрезка AC при известных координатах А(-14; -15), С(-21;-1) по формуле K(\frac{x_A+x_C}{2};\frac{y_A+y_C}{2}) => K(\frac{-21-14}{2};\frac{-1-15}{2}) => K(-17.5; -8)
Находим уравнение прямой BK по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки  В(0; 13) и K(-17.5; -8)  уравнение (1) \frac{x-0}{-17.5-0}=\frac{y-13}{-8-13} => y =  \frac{6}{5}x +13
Ответ: уравнение медианы BK  y =  \frac{6}{5}x +13


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Ноябрь 4, 2014 by Вячеслав Моргун

6) Уравнение биссектрисы AE
Воспользуемся свойством биссектрисы угла: расстояние от точки биссектрисы до сторон угла равны. Между двумя пересекающимися прямыми существует две биссектрисы (биссектрисы смежных углов). Пусть точка с координатами (x;y) принадлежит биссектрисе, тогда расстояние от этой точки до стороны угла (стороны треугольника) рассчитывается по формуле: расстояние от точки до прямой d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}
Найдем расстояние от этой точки до прямых
a) AC. Получим общее уравнение прямой AC y = -2x -43 => 2x + y +43 =0, где A=2;B=1, тогда расстояние от точки (x;y) до этой прямой будет равно d_1 = \frac{|2x + y +43|}{\sqrt{2^2+1^2}}= \frac{|2x + y +43|}{\sqrt{5}}
b) AB. Получим общее уравнение прямой AB y = 2x +13 => 2x - y + 13 =0, где A=2;B=-1, тогда расстояние от точки (x;y) до этой прямой будет равно d_2 = \frac{|2x - y + 13|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}= \frac{|2x - y + 13|}{\sqrt{5}} 
c) Согласно свойства биссектрисы угла, расстояния равны d_1=d_2 . Приравняем их \frac{|2x + y +43|}{\sqrt{5}} = \frac{|2x - y + 13|}{\sqrt{5}} => |2x + y +43| =|2x - y + 13|  Нужно открыть модуль. При раскрытии модуля нужно рассмотреть 4 случая, но они попарно дадут одинаковые ответы, поэтому рассмотрим 2 случая. 
Пусть  2x + y +43 > 0 ; 2x - y + 13  >  0, тогда  получаем    2x + y +43 = 2x - y + 13 => y = -15 
Пусть  2x + y +43 > 0 ; 2x - y + 13 <  0 , тогда  получаем    2x + y +43 =  -2x + y - 13 => x = -14  
Получили две  биссектрисы. Выбираем нужную, смотрим на рисунок. Это будет x = -14


Ответ: уравнение биссектрисы AE: x=-14