Трикутник АВС задано координатами вершин А(-14; -15), В(0; 13), С(-21;-1). Знайти рівняння сторони А

1) Уравнения стороны AB треугольника.

уравнение стороны AB, при известных координатах вершины А(-14; -15), В(0; 13)  $$AB \quad \frac{x+14}{0+14} = \frac{y+15}{13+15} => y = 2x +13$$
Ответ: уравнение стороны $AB$: $y = 2x +13$ 

уравнение стороны BC, при известных координатах вершины В(0; 13), С(-21;-1)  $$BC \quad \frac{x-0}{-21-0} = \frac{y-13}{-1-13} => y = \frac{2}{3}x +13$$
Ответ: уравнение стороны $BC$: $\frac{2}{3}x +13$  

уравнение стороны AC, при известных координатах вершины А(-14; -15), С(-21;-1)  $$AC \quad \frac{x+14}{-21+14} = \frac{y+15}{-1+15} => y = -2x -43$$  
Ответ: уравнение стороны $AC$: $y = -2x -43$   

2) Уравнение высоты AD, опущенной из вершины $A$ на сторону $BC$.
Высота AD опущена из вершины A на сторону BC, т.е. из условия известна одна координата точки А(-14; -15) и направление - прямая перпендикулярна прямой BC. Воспользуемся свойством угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: $k_1 = -\frac{1}{k_2}$. Найдем угловой коэффициент $k_1$ при $k_2=k_{BC} =-frac{2}{3}$, получим $k_{AD} = -\frac{1}{k_{BC}} = - \frac{3}{2}$. Найдем уравнение прямой AD, для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении $$y - y_0 = k(x - x_0) \quad (2)$$ получим $$y +15 = -\frac{3}{2}(x + 14) => y = -\frac{3}{2}x -36$$
Ответ: уравнение высоты AD $y =  -\frac{3}{2}x -36$

3) Длина высоты AD 
Найдем расстояние от точки до прямой, которое рассчитывается по формуле $d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$, где $(x_0;y_0)$ - координаты точки, а 
$Ax_0+By_0+C =0$ - общее уравнение прямой, расстояние до которой ищется.
приводим уравнение прямой $BC$ к общему виду $y = \frac{2}{3}x +13 =>  2x - 3y +39 =0$, где $A = 2$, $B = -3$, координаты точки А(-14; -15) => $x_0=6;y_0=-16$ подставляем в формулу $$d = \frac{|2*(-14) - 3*(-15) +39|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}} = \frac{56}{\sqrt{13}} \approx 15,53$$

Ответ: длина высоты $AD$ равна $AD =  \frac{56}{\sqrt{13}} \approx 15,53$

4) Площадь треугольника
Площадь треугольника будем искать по формуле $S = \frac{1}{2}ah$. Длина высоты уже известна см. п. 3) $h  = AD =  \frac{56}{\sqrt{13}}$. Необходимо найти длину стороны $BC$ как расстояние между точками В(0; 13), С(-21;-1). Расстояние между точками находится по формуле Пифагора $a = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$, получаем $$a = \sqrt{(-21-0)^2+(-1-13)^2} =7\sqrt{13}$$ подставляем в формулу площади треугольника $$S_{ΔABC} = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \frac{56}{\sqrt{13}}*7\sqrt{13} = 196$$  
Ответ: площадь треугольника равна $S_{ΔABC} = 196$

5) Уравнение медианы BK треугольника $ΔАВС$
Для нахождения медианы BK есть координата одной точки В(0; 13), а координаты второй точки прямой $K$ найдем как координаты середины отрезка $AC$ при известных координатах А(-14; -15), С(-21;-1) по формуле $K(\frac{x_A+x_C}{2};\frac{y_A+y_C}{2})$ => $K(\frac{-21-14}{2};\frac{-1-15}{2})$ => $K(-17.5; -8)$
Находим уравнение прямой $BK$ по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки  В(0; 13) и K(-17.5; -8)  уравнение (1) $$\frac{x-0}{-17.5-0}=\frac{y-13}{-8-13} => y =  \frac{6}{5}x +13$$
Ответ: уравнение медианы BK $y =  \frac{6}{5}x +13$

6) Уравнение биссектрисы AE
Воспользуемся свойством биссектрисы угла: расстояние от точки биссектрисы до сторон угла равны. Между двумя пересекающимися прямыми существует две биссектрисы (биссектрисы смежных углов). Пусть точка с координатами (x;y) принадлежит биссектрисе, тогда расстояние от этой точки до стороны угла (стороны треугольника) рассчитывается по формуле: расстояние от точки до прямой $d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
Найдем расстояние от этой точки до прямых
a) AC. Получим общее уравнение прямой AC $y = -2x -43 => 2x + y +43 =0$, где $A=2;B=1$, тогда расстояние от точки (x;y) до этой прямой будет равно $d_1 = \frac{|2x + y +43|}{\sqrt{2^2+1^2}}= \frac{|2x + y +43|}{\sqrt{5}}$
b) AB. Получим общее уравнение прямой AB $y = 2x +13 => 2x - y + 13 =0$, где $A=2;B=-1$, тогда расстояние от точки (x;y) до этой прямой будет равно $d_2 = \frac{|2x - y + 13|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}= \frac{|2x - y + 13|}{\sqrt{5}}$ 
c) Согласно свойства биссектрисы угла, расстояния равны $d_1=d_2$ . Приравняем их $$\frac{|2x + y +43|}{\sqrt{5}} = \frac{|2x - y + 13|}{\sqrt{5}} => |2x + y +43| =|2x - y + 13|$$ Нужно открыть модуль. При раскрытии модуля нужно рассмотреть 4 случая, но они попарно дадут одинаковые ответы, поэтому рассмотрим 2 случая. 
Пусть  $2x + y +43 > 0 ; 2x - y + 13  >  0$, тогда  получаем   $2x + y +43 = 2x - y + 13 => y = -15$ 
Пусть  $2x + y +43 > 0 ; 2x - y + 13 <  0$, тогда  получаем   $2x + y +43 =  -2x + y - 13 => x = -14$  
Получили две  биссектрисы. Выбираем нужную, смотрим на рисунок. Это будет $x = -14$

Ответ: уравнение биссектрисы AE: $x=-14$