Вершини трикутника АВС А (8;7 ) В (3 ; 2 ) С (-1 ; 10) Знайти: 1) рiвняння сторони АВ,BC,AC 2) рiвн

1) Уравнения стороны AB треугольника.
Даны три вершины треугольника A(8;7),В(3;2),С(-1;10) , поэтому уравнения стороны будем искать при помощи формулы уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \quad (1)$ Подставляем координаты вершин:
уравнение стороны AB, при известных координатах вершины A(8;7), В(3;2)  $$AB \quad \frac{x-8}{3-8} = \frac{y-7}{2-7} => y = x - 1$$
Ответ: уравнение стороны $AB$: $y  = x - 1$ 

уравнение стороны BC, при известных координатах вершины В(3;2),С(-1;10)  $$BС \quad \frac{x-3}{-1-3} = \frac{y-2}{10-2} => y = -2x +8$$
Ответ: уравнение стороны $BC$: $y = -2x +8$  

уравнение стороны AC, при известных координатах вершины A(8;7),С(-1;10)  $$AС \quad \frac{x-8}{-1-8} = \frac{y-7}{10-7} => y = \frac{29}{3} -\frac{1}{3}x$$  
Ответ: уравнение стороны $AC$: $y = \frac{29}{3} -\frac{1}{3}x$  

2) Уравнение высоты BH, опущенной из вершины $B$ на сторону $AC$.
Высота BH опущена из вершины B на сторону AC, т.е. из условия известна одна координата точки В(3;2) и направление - прямая перпендикулярна прямой AC. Воспользуемся свойством угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: $k_1 = -\frac{1}{k_2}$. Найдем угловой коэффициент $k_1$ при $k_2=k_{BC} =-\frac{1}{3}$, получим $k_{AD} = -\frac{1}{k_{BC}} = 3$. Найдем уравнение прямой BH, для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении $$y - y_0 = k(x - x_0) \quad (2)$$ получим $$y -2 = 3(x - 3) => y = 3x - 7$$
Ответ: уравнение высоты BH $y = 3x - 7$

3) Уравнение медианы AM треугольника $ΔАВС$
Для нахождения медианы AM есть координата одной точки A(8;7), а координаты второй точки прямой $M$ найдем как координаты середины отрезка $BC$ при известных координатах В(3;2),С(-1;10) по формуле $M(\frac{x_B+x_C}{2};\frac{y_B+y_C}{2})$ => $M(\frac{3-1}{2};\frac{2+10}{2})$ => $M(1; 6)$
Находим уравнение прямой $AM$ по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки  A(8;7) и M(1; 6)  уравнение (1) $$\frac{x-8}{1-8}=\frac{y-7}{6-7} => y =  \frac{1}{7}x + \frac{41}{7}$$
Ответ: уравнение медианы AM $y =   \frac{1}{7}x + \frac{41}{7}$

5) Уравнение прямой, которая проходит через точку $A$ и параллельна прямой стороны BC
Прямая проходит точку $A$, т.е. из условия известна одна координата точки A(8;7) и направление - прямая параллельна прямой BC $y = -2x +8$. Воспользуемся свойством угловых коэффициентов параллельных прямых: $k_1 = k_2$. Найдем угловой коэффициент $k_1$ при $k_1 = k_2=k_{BC} =- 2$. Найдем уравнение прямой BC, для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении $$y - y_0 = k(x - x_0) \quad (2)$$ получим $$y -7 = -2(x - 8) => y = 23 - 2x$$ Ответ: уравнение прямой, проходящей через точку A и параллельна прямой стороны BC $y = 23 - 2x$

6) Найти расстояние от точки A до прямой BC  
Найдем расстояние от точки до прямой, которое рассчитывается по формуле $d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$, где $(x_0;y_0)$ - координаты точки, а 
$Ax_0+By_0+C =0$ - общее уравнение прямой, расстояние до которой ищется.
приводим уравнение прямой $BC$ к общему виду $y = -2x +8 => 2x +y -8 =0$, где $A =-2$, $B = 1$, координаты точки A(8;7) => $x_0=8;y_0=7$ подставляем в формулу $$d = \frac{|2*8 +7 -8|}{\sqrt{2^2+1^2}} = 3\sqrt{5} \approx 6,7$$
Ответ: расстояние от точки A до прямой BC равно $d =   3\sqrt{5} \approx 6,7$