Завдання: обчислимо об'єм трикутної піраміди DАВС, яка задана своїми вершинами A (5; 2; 0), B (2; 5; 0), C (1; 2; 4), D (-1; 1; 1).
Рішення: геометричний зміст змішаний добутку трьох векторів - добуткок дорівнює об'єму \(V_ {пар} \) паралелепіпеда, побудованого на приведених до загального початку векторах \(\vec {a}, \vec {b}, \vec {c} \) . Об'єм піраміди дорівнює \(V_ {пірам} = \frac {1} {6} V_ {пар} \).
Алгоритм знаходження об'єму трикутної піраміди при відомих координатах вершин.
1. Знаходимо координати векторів, що виходять з однієї вершини.
Візьмемо за загальну вершину точку A і знайдемо координати векторів як різниця координат вершин:
\( \vec {AB} = (2-5; 5-2; 0-0) = (-3; 3; 0) \)
\( \vec {AC} = (1-5; 2-2; 4-0) = (-4; 0; 4) \)
\( \vec {AD} = (-1-5; 1-2; 1-0) = (-6; -1; 1) \)
2. Змішаний добуткок трьох векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда знаходиться за формулою $$ ( \vec {a} \times \vec {b}) * \vec {c} = \left | \begin {array} {c} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end {array} \right | $$ нам потрібно \( \frac {1}{6} \) від цього об'єму. Підставимо координати і обчислимо визначник $$ V_ {пірам} = \pm \frac {1}{6} (\vec{a} \times \vec{b}) * \vec{c} = $$$$ \pm \frac{1}{6} \left | \begin {array}{c} -3 & 3 & 0 \\ -4 & 0 & 4 \\ -6 & -1 & 1 \end {array} \right | = $$ винесемо \(- 3 \) з першого рядка, та \(- 4 \) з другого рядка $$ = \pm \frac{-3*(-4)}{6} \left | \begin {array} {c} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ -6 & -1 & 1 \end {array} \right | = $$ розкладемо визначник по першому рядку $$ = \pm 2 [(-1)^{1 + 1} * 1 * (1 * 0 - (- 1)(-1)) + $$$$ + (- 1)^{1 + 2} * (-1) * (1 * 1 - (-6)*(-1))] = $$$$ = \pm 2 [ -1 - 5 ] = 12 од ^ 3 $$ Знак \( \pm \) означає, що об'єм це позитивне число.
Відповідь: об'єм трикутної піраміди дорівнює \(V_ {пірам} = 12 од ^ 3 \).
