Будем решать тригонометрическое уравнение путем приведения членов уравнения к одному углу. Для этого воспользуемся формулой косинуса двойного угла \(\cos(2x) = 2\cos^x-1\). Применим формулу $$\cos(x)*\cos(2x)*\cos(4x)=1 =>$$$$ \cos(x)*(2\cos^2(x)-1)*(2\cos^2(2x)-1)=1 =>$$$$\cos(x)*(2\cos^2(x)-1)*(2(2\cos^2(x)-1)^2-1)=1 =>$$$$ \cos(x)*(2\cos^2(x)-1)*(2(4\cos^4(x)-4\cos^2(x)+1)-1)=1$$$$ \cos(x)*(2 \cos^2(x)-1)*(8 \cos^4(x)-8 \cos^2(x)+1)=1 =>$$$$ \cos(x)*(16 \cos^6(x)-16 \cos^4(x)+2 \cos^2(x) - 8 \cos^4(x) + 8 \cos^2(x) - 1) -1 =0 =>$$$$ \cos(x)*(16 \cos^6(x)-24 \cos^4(x)+10 \cos^2(x) - 1) -1 =0 =>$$$$16\cos^7(x)-24\cos^5(x)+10\cos^3(x) - \cos(x) -1 =0$$получили многочлен 7 степени относительно \(\cos(x)\). Необходимо найти корни многочлена. Применим Схему Горнера для нахождения корней: Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена. Свободный член это -1. Делителями свободного члена являются \(\pm 1\). Подставим их в многочлен и определим, являются ли они корнями:
- \(\cos(x) =1 =>16-24+10-1-1=0\) - корень уравнения
- \(\cos(x) =-1 =>-16+24-10+1-1=-2\) - не является корнем уравнения
Т.о. корнем уравнения является $$\cos(x)=1 =>x = 2\pi n$$Ответ: \(x = 2\pi n, x \in Z\)
