Задача: Найти скалярное и векторное произведение векторов АВ и АС , если заданы координаты точек А(-1,1,0), В(2,0,-1), С(-2,-3,-1)
Решение: найдем координаты векторов \(\vec{AB};\vec{AC}\)
Координаты вектора \(\vec{AB} = (2+1;0-1;-1-0) = (3;-1;-1)\)
Координаты вектора \(\vec{AC} = (-2+1;-3-1;-1-0) = (-1;-4;-1)\)
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений соответствующих координат $$\vec{a}*\vec{b} = a_x*b_x + a_y*b_y + a_z*b_z$$ Подставляем координаты векторов $$\vec{AB}*\vec{AC} = 3*(-1) + (-1)*(-4) + (-1)*(-1) = 2$$
Векторное произведение двух векторов \(\vec{a} = (a_x; a_y; a_z)\) и \(\vec{b} = (b_x; b_y; b_z)\) в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы: $$\vec{a}\times\vec{b} = \left|\begin{array}{c} i & j & k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{array}\right| = i(a_yb_z - a_zb_y) - j(a_xb_z - a_zb_x) + k(a_xb_y-a_yb_x) =>$$$$\vec{a}\times\vec{b} = (a_yb_z - a_zb_y; - a_xb_z + a_zb_x; a_xb_y-a_yb_x)$$Подставляем координаты векторов $$\vec{AB}\times\vec{AC} = ((-1)(-1) - (-1)(-4); - 3(-1) + (-1)(-1); 3(-4)-(-1)(-1)) = (-3; 4; -13)$$
