Loading Web-Font TeX/Main/Regular
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Побудувати криву 36х^2 -4у^2 + 72х - 32у + 116=0. Знайти координати її фокусів та ексцентриситет


0 Голосов
Аврамова Крис
Posted Октябрь 25, 2014 by Аврамова Кристина Дмитриевна
Категория: Аналитическая геометрия
Всего просмотров: 3128

Побудувати криву 36х^2 -4у^2 + 72х - 32у + 116=0. Знайти координати її фокусів та ексцентриситет

Теги: аналітична геометрія, фокуси, ексцентриситет, крива

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Октябрь 25, 2014 by Вячеслав Моргун

Дано уравнение кривой второго порядка 36х^2 -4у^2 + 72х - 32у + 116=0


Записать уравнение кривой в каноническом виде.
В данном уравнении есть только члены второй и первой степени (нет смешанного произведения), поэтому каноническое уравнение будем получать методом выделения полного квадрата.
36х^2 -4у^2 + 72х - 32у + 116=0=> 4(9x^2+18x-y^2-8y+29)=0 => 

для упрощения расчетов, разделили все члены многочлена на общий делитель 4  9x^2+18x-y^2-8y+29=0 => 9(x^2+2x)-(y^2+2*4y)+29=0 =>
дополняем члены в скобках до полного квадрата 9(x^2+2x+1-1)-(y^2+2*4y+16-16)+29=0 =>
9((x+1)^2-1)-((y+4)^2-16)+29=0 =>  9(x+1)^2-9-(y+4)^2+16+29=0  =>
9(x+1)^2-(y+4)^2=-36 => \frac{(x+1)^2}{4}-\frac{(y+4)^2}{36}=-1
Получили уравнение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1
 Смотрим на знак минус (-1),  это указывает на то, что ось Oy - действительная ось, а ось Ox - мнимая. Из уравнения получаем значения полуосей a = 2; b=6.
Координаты вершин (точек пересечения с действительной осью). Приравниваем x+1=0 => x=-1, получаем 0-\frac{(y+4)^2}{36}=-1 => y_1=-10;y_2=2 A_1(-1;-10);A_2(-1;2).
Координаты фокусов: координаты фокусов для уравнения гиперболы в каноническом виде следующие F_1(0;-c);F_2(0;+c), где c= \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{36+4} = 2\sqrt{10}. Мы получили уравнение гиперболы сдвинутое относительно осей. Введем обозначение x' = x+1;y'=y+4, получили систему координат x'y'. Подставим эти координаты в полученное уравнение \frac{(x')^2}{4}-\frac{(y')^2}{36}=-1. Координаты фокусов F_1(0;-c);F_2(0;+c) соответствуют системе координат x'y', а нам нужны координаты в системе xy. Перейдем к исходной системе координат xy, для этого проведем преобразования x' = x+1;y'=y+4 => x = x'-1;y=y'-4, т.е. чтобы получить координаты фокусов в исходной системе координат нужно от новой координаты x' вычесть 1,а от y' вычесть 4, тогда координаты фокусов получим F_1(0;-c);F_2(0;+c) - новая система координат, а F_1(0-1;-c-4);F_2(0-1;+c-4) - в исходной системе координат. Подставляем значение c - фокусное расстояние и получаем искомые
координаты фокусов F_1(-1;-2\sqrt{10}-4);F_2(-1;2\sqrt{10}-4)


Эксцентриситет - характеристика формы гиперболы. Уравнение эксцентриситета \epsilon = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{b}

подставляем данные \epsilon = \frac{\sqrt{36+4}}{6} =  \frac{\sqrt{10}}{3} 


Рисунок кривой:


Другие ответы


0 Голосов
Аврамова Крис
Posted Октябрь 26, 2014 by Аврамова Кристина Дмитриевна

дякую!