Дано уравнение кривой второго порядка 36х^2 -4у^2 + 72х - 32у + 116=0
Записать уравнение кривой в каноническом виде.
В данном уравнении есть только члены второй и первой степени (нет смешанного произведения), поэтому каноническое уравнение будем получать методом выделения полного квадрата.
36х^2 -4у^2 + 72х - 32у + 116=0=> 4(9x^2+18x-y^2-8y+29)=0 =>
для упрощения расчетов, разделили все члены многочлена на общий делитель 4
9x^2+18x-y^2-8y+29=0 => 9(x^2+2x)-(y^2+2*4y)+29=0 =>
дополняем члены в скобках до полного квадрата
9(x^2+2x+1-1)-(y^2+2*4y+16-16)+29=0 =>
9((x+1)^2-1)-((y+4)^2-16)+29=0 => 9(x+1)^2-9-(y+4)^2+16+29=0 =>
9(x+1)^2-(y+4)^2=-36 => \frac{(x+1)^2}{4}-\frac{(y+4)^2}{36}=-1
Получили уравнение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1
Смотрим на знак минус (-1), это указывает на то, что ось Oy - действительная ось, а ось Ox - мнимая. Из уравнения получаем значения полуосей
a = 2; b=6.
Координаты вершин (точек пересечения с действительной осью). Приравниваем
x+1=0 => x=-1, получаем
0-\frac{(y+4)^2}{36}=-1 => y_1=-10;y_2=2 A_1(-1;-10);A_2(-1;2).
Координаты фокусов: координаты фокусов для уравнения гиперболы в каноническом виде следующие
F_1(0;-c);F_2(0;+c), где
c= \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{36+4} = 2\sqrt{10}. Мы получили уравнение гиперболы сдвинутое относительно осей. Введем обозначение
x' = x+1;y'=y+4, получили систему координат
x'y'. Подставим эти координаты в полученное уравнение
\frac{(x')^2}{4}-\frac{(y')^2}{36}=-1. Координаты фокусов
F_1(0;-c);F_2(0;+c) соответствуют системе координат
x'y', а нам нужны координаты в системе
xy. Перейдем к исходной системе координат
xy, для этого проведем преобразования
x' = x+1;y'=y+4 => x = x'-1;y=y'-4, т.е. чтобы получить координаты фокусов в исходной системе координат нужно от новой координаты
x' вычесть 1,а от
y' вычесть 4, тогда координаты фокусов получим
F_1(0;-c);F_2(0;+c) - новая система координат, а
F_1(0-1;-c-4);F_2(0-1;+c-4) - в исходной системе координат. Подставляем значение
c - фокусное расстояние и получаем искомые
координаты фокусов
F_1(-1;-2\sqrt{10}-4);F_2(-1;2\sqrt{10}-4)
Эксцентриситет - характеристика формы гиперболы. Уравнение эксцентриситета \epsilon = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{b}
подставляем данные
\epsilon = \frac{\sqrt{36+4}}{6} = \frac{\sqrt{10}}{3}
Рисунок кривой:
