Побудувати криву $36х^2 -4у^2 + 72х - 32у + 116=0$. Знайти координати її фокусів та ексцентриситет

Дано уравнение кривой второго порядка $36х^2 -4у^2 + 72х - 32у + 116=0$

Записать уравнение кривой в каноническом виде.
В данном уравнении есть только члены второй и первой степени (нет смешанного произведения), поэтому каноническое уравнение будем получать методом выделения полного квадрата.

$$36х^2 -4у^2 + 72х - 32у + 116=0=> 4(9x^2+18x-y^2-8y+29)=0 =>$$ для упрощения расчетов, разделили все члены многочлена на общий делитель 4 $$9x^2+18x-y^2-8y+29=0 => 9(x^2+2x)-(y^2+2*4y)+29=0 =>$$ дополняем члены в скобках до полного квадрата $$9(x^2+2x+1-1)-(y^2+2*4y+16-16)+29=0 =>$$ $$9((x+1)^2-1)-((y+4)^2-16)+29=0 =>  9(x+1)^2-9-(y+4)^2+16+29=0  =>$$ $$9(x+1)^2-(y+4)^2=-36 => \frac{(x+1)^2}{4}-\frac{(y+4)^2}{36}=-1$$ Получили уравнение гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$$  Смотрим на знак минус (-1),  это указывает на то, что ось Oy - действительная ось, а ось Ox - мнимая. Из уравнения получаем значения полуосей $a = 2; b=6$.
Координаты вершин (точек пересечения с действительной осью). Приравниваем $x+1=0 => x=-1$, получаем $0-\frac{(y+4)^2}{36}=-1 => y_1=-10;y_2=2$ $A_1(-1;-10);A_2(-1;2)$.
Координаты фокусов: координаты фокусов для уравнения гиперболы в каноническом виде следующие $F_1(0;-c);F_2(0;+c)$, где $c= \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{36+4} = 2\sqrt{10}$. Мы получили уравнение гиперболы сдвинутое относительно осей. Введем обозначение $x' = x+1;y'=y+4$, получили систему координат $x'y'$. Подставим эти координаты в полученное уравнение $\frac{(x')^2}{4}-\frac{(y')^2}{36}=-1$. Координаты фокусов $F_1(0;-c);F_2(0;+c)$ соответствуют системе координат $x'y'$, а нам нужны координаты в системе $xy$. Перейдем к исходной системе координат $xy$, для этого проведем преобразования $x' = x+1;y'=y+4 => x = x'-1;y=y'-4$, т.е. чтобы получить координаты фокусов в исходной системе координат нужно от новой координаты $x'$ вычесть 1,а от $y'$ вычесть 4, тогда координаты фокусов получим $F_1(0;-c);F_2(0;+c)$ - новая система координат, а $F_1(0-1;-c-4);F_2(0-1;+c-4)$ - в исходной системе координат. Подставляем значение $c$ - фокусное расстояние и получаем искомые
координаты фокусов $F_1(-1;-2\sqrt{10}-4);F_2(-1;2\sqrt{10}-4)$

Эксцентриситет - характеристика формы гиперболы. Уравнение эксцентриситета

$$\epsilon = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{b}$$ подставляем данные $$\epsilon = \frac{\sqrt{36+4}}{6} =  \frac{\sqrt{10}}{3}$$

Рисунок кривой: