Решение:
1. Докажем, что три вектора \(a,b,c\) образуют базис трехмерного пространства.
Три вектора образуют базис, если они линейно независимые, таким образом, если мы составим определитель из координат этих векторов и найдем его, то согласно свойства строк (столбцов) определителя, определитель будет равен нулю, если строки (столбцы) определителя линейно зависимы, если определитель не равен 0, то вектора линейно независимые и образуют базис.
Найдем определитель матрицы переходов, составленной из координат векторов \(a,b,c\) $$|A| = \left|\begin{array}{c}2 & 4 & 1\\ 1 & 3 & 6\\ 5 & 3 & 1\end{array}\right| = 2*3*1+4*6*5+1*3*1-1*3*5-3*6*2-1*4*1 = 74 \ne 0 $$получили, что определитель не равен 0, т.е. векторы линейно независимые и образуют базис \(R^3\).
2. Найдем координаты вектора d=(24;20;6) в этом базисе. Для этого решим линейное матричное уравнение $$Ax=d$$
методом Гаусса
Составим расширенную матрицу системы \((A|d)\)
$$(A|b) = \left(\begin{array}{c} 2 & 4 & 1\\ 1 & 3 & 6\\ 5 & 3 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 24\\ 20\\ 6 \end{array}\right.\right) =$$
путем простейших преобразований приведем матрицу A к единичной:
Прямой ход метода Гаусса
1. Выберем элемент \(a_{11} \) за ведущий. Для простоты расчетов нужно чтобы он был равен 1, можно всю строку разделить на 2, а можно вычесть из первой строки вторую, получаем
$$= \left(\begin{array}{c} 1 & 1 & -5 \\ 1 & 3 & 6\\ 5 & 3 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 4\\ 20\\ 6 \end{array}\right.\right) =$$
получили \(a_{11} = 1\)
вычтем из второй строки первую
$$= \left(\begin{array}{c} 1 & 1 & -5 \\ 0 & 2 & 11\\ 5 & 3 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 4\\ 16\\ 6 \end{array}\right.\right) =$$
вычтем из третьей строки первую, умноженную на 5
$$= \left(\begin{array}{c} 1 & 1 & -5 \\ 0 & 2 & 11\\ 0 & -2 & 26 \end{array}\left|\begin{array}{c} 4\\ 16\\ -14 \end{array}\right.\right) =$$
сложим третью строку со второй
$$= \left(\begin{array}{c} 1 & 1 & -5 \\ 0 & 2 & 11\\ 0 & 0 & 37 \end{array}\left|\begin{array}{c} 4\\ 16\\ 2 \end{array}\right.\right) =$$
разделим третью строку на 37
$$= \left(\begin{array}{c} 1 & 1 & -5 \\ 0 & 2 & 11\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 4\\ 16\\ \frac{2}{37} \end{array}\right.\right) =$$
Прямой ход метода Гаусса закончился, приступаем к обратному ходу.
Выбираем за ведущий элемент \(a_{33} =1\),
умножим третью строку на 11 и вычтем из второй строки
$$= \left(\begin{array}{c} 1 & 1 & -5 \\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 4\\ \frac{570}{37}\\ \frac{2}{37} \end{array}\right.\right) =$$
умножим третью строку на 5 и сложим с первой строкой
$$= \left(\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} \frac{158}{37}\\ \frac{570}{37}\\ \frac{2}{37} \end{array}\right.\right) =$$
чтобы получить единичную матрицу осталось разделить вторую строку на 2
$$= \left(\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} \frac{158}{37}\\ \frac{285}{37}\\ \frac{2}{37} \end{array}\right.\right) =$$
и вычесть вторую строку из первой
$$= \left(\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -\frac{127}{37}\\ \frac{285}{37}\\ \frac{2}{37} \end{array}\right.\right) $$
Получили расширенную матрицу у которой матрица \(A\) - единичная, а матрица $$x =\left(\begin{array}{c} -\frac{127}{37}\\ \frac{285}{37}\\ \frac{2}{37} \end{array}\right)$$ это есть искомая матрица, координаты вектора \(d\) в базисе \((a;b;c)\)
Ответ: координаты вектора \(d\) в базисе \((a;b;c)\) \(x =\left(\begin{array}{c} -\frac{127}{37}\\ \frac{285}{37}\\ \frac{2}{37} \end{array}\right)\)
