Найдем предел: $$ \lim_{x \to 2}(2x-3)^\frac{x^2}{x-2}$$
Решение:
Найдем предел $$ \lim_{x \to 2}(2x-3)^\frac{x^2}{x-2} = (2*2-3)^\frac{x^2}{2-2} = 1^{\infty}$$ получили неопределенность вида \(1^{\infty}\). Данную неопределенность можно разрешать применяя метод Лопиталя и приведения к форме второго замечательного предела . Рассмотрим оба метода:
1. Правило Лопиталя:
Проведем преобразования $$ \lim_{x \to 2}(2x-3)^\frac{x^2}{x-2} = e^{\lim_{x \to 2}\ln(2x-3)^\frac{x^2}{x-2}} = $$$$ = e^{\lim_{x \to 2}\frac{x^2}{x-2} \ln(2x-3)} = \quad (1)$$ Найдем отдельно предел $$ \lim_{x \to 2}\frac{x^2}{x-2} \ln(2x-3) = \frac{0}{0} $$ Применим правило Лопиталя.
Правило Лопиталя $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$ Предварительно упростим дробь, выделим целую часть числа $$ \lim_{x \to 2}\frac{x^2}{x-2} \ln(2x-3) = \lim_{x \to 2}\frac{x^2-4+4}{x-2} \ln(2x-3) = $$$$ = \lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+2)+4}{x-2} \ln(2x-3) = \lim_{x \to 2}(x+2 +\frac{4}{x-2}) \ln(2x-3) = $$$$ = \lim_{x \to 2}(x+2)\ln(2x-3) + \lim_{x \to 2}\frac{4}{x-2} \ln(2x-3) = $$$$ = 0+ \lim_{x \to 2}\frac{4}{x-2} \ln(2x-3) = \frac{0}{0}$$ Применяем правило Лопиталя $$ \lim_{x \to 2}\frac{4}{x-2} \ln(2x-3) = 4\lim_{x \to 2}\frac{(\ln(2x-3))'}{(x-2)'} =$$$$ = 4\lim_{x \to 2}\frac{\frac{2}{2x-3}}{1} = 4 \frac{2}{2*2-3} = 8$$Подставляем ответ в (1)
$$ e^{\lim_{x \to 2}\frac{x^2}{x-2} \ln(2x-3)} = e^{8}$$
Ответ: \( \lim_{x \to 2}(2x-3)^\frac{x^2}{x-2} = e^{8} \)
2. Метод приведения к форме второго замечательного предела
Запишем второй замечательный предел $$\lim_{x \to 0}(1+ f(x))^\frac{1}{f(x)} = e$$
Проведем преобразования:
$$ \lim_{x \to 2}(2x-3)^\frac{x^2}{x-2} = \lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^\frac{x^2}{x-2} = \quad (1)$$ Получили \(f(x) = 2x-4\), теперь в степени мы должны получить дробь вида \( \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{2x-4}\), преобразуем степень \(\frac{x^2}{x-2}\), выделим целую часть дроби, применим формулу разности квадратов
$$\frac{x^2}{x-2} = \frac{x^2-4+4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)+4}{x-2} = $$ $$ = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} + \frac{4}{x-2} = (x+2) + \frac{4}{x-2} $$ подставляем (1) $$ = \lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^{(x+2) + \frac{4}{x-2}} = \lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^{x+2}*(1 + (2x-4))^\frac{4}{x-2} = $$$$ = \lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^{x+2}*\lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^\frac{4}{x-2} = $$$$ = (1)^{2+2}*\lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^\frac{4}{x-2} = \lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^\frac{4}{x-2} = \quad (2)$$ получим нужную степень \(\frac{4}{x-2} = \frac{8}{2x-4} = 8\frac{1}{2x-4}\) поставляем в (2) $$ = \lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^{8\frac{1}{2x-4}} = \lim_{x \to 2}((1 + (2x-4))^{\frac{1}{2x-4}})^8 = $$ получили второй замечательный предел \(\lim_{x \to 2}(1 + (2x-4))^{\frac{1}{2x-4}}= e\), получаем $$ = \lim_{x \to 2}((1 + (2x-4))^{\frac{1}{2x-4}})^8 = e^8 $$
Ответ: \( \lim_{x \to 2}(2x-3)^\frac{x^2}{x-2} = e^{8} \)
