Найдем предел: $$ \lim_{x \to 0}(3x ctg(9x))$$
Решение:
1. Найдем предел $$ \lim_{x \to 0}(3x ctg(9x)) = \lim_{x \to 0}(3x \frac{\cos(9x)}{\sin(9x)}) = \frac{3*0*1}{0} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Данную неопределенность будем разрешать, применяя правило Лопиталя:
2. Применим правило Лопиталя:
Определение. Правило Лопиталя: если \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}\), то $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$ Применяем правило Лопиталя $$ \lim_{x \to 0}(3x \frac{\cos(9x)}{\sin(9x)}) = \lim_{x \to 0}(\frac{(3x*\cos(9x))'}{(\sin(9x))'}) = $$$$ = \lim_{x \to 0}(3\frac{\cos(9x) - 9x*\sin(9x)}{9\cos(9x)}) = 3\frac{\cos(9*0) - 9*0*\sin(9*0)}{9\cos(9*0)} =$$$$= 3\frac{1 -0}{9} = \frac{1}{3} $$
Ответ: \( \lim_{x \to 0}(3x ctg9x) = \frac{1}{3}\)
