Найдем предел функции $$ \lim_{x \to 0.5}\frac{2x-1}{8x^3+16x-9}$$
Решение:
Найдем предел $$ \lim_{x \to 0.5}\frac{2x-1}{8x^{3}+16x-9}= \frac{2*\frac{1}{2}-1}{8*\frac{1}{2}^3+16*\frac{1}{2}-9} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\). Данную неопределенность можно разрешать применяя метод преобразования и правило Лопиталя
1. Метод преобразований (в данном случае преобразование многочлена). Цель преобразований - выделить в числителе и знаменателе множители, которые при \(x \to 0.5\) стремятся к \( 0\) и сократить их, т.е. сократить члены, которые приводят к неопределенности вида \(\frac{ 0}{ 0}\) При решении подобных примеров находят корни многочленов числителя и знаменателя В числителе многочлен \(2x-1 = 2(x-0.5)\), который при \( x \to 0.5\) равен 0. Проверим, делится ли знаменатель на многочлен \( x-0.5 \). \( 8x^3+16x-9 = 2(x-0.5)(4x^2+2x+9) \). Делится, это и есть искомый множитель, приводящий к неопределенности. Подставляем в предел $$ \lim_{x \to 0.5}\frac{2x-1}{8x^3+16x-9} = \lim_{x \to 0.5}\frac{2(x-0.5)}{2(x-0.5)(4x^2+2x+9)} = $$ сокращаем многочлен (x - 0.5) в числителе и знаменателе. $$ = \lim_{x \to 0.5} \frac{1}{4x^2+2x+9} = \frac{1}{4(0.5)^2+2(0.5)+9} = \frac{1}{11}$$
Ответ: \( \lim_{x \to 0.5}\frac{2x-1}{8x^3+16x-9} = \frac{1}{11} \)
2. Правило Лопиталя:
Правило Лопиталя: если \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}\), то $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Для применением правила Лопиталя необходима неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), которую мы получили раннее, поэтому можно применить правило Лопиталя: $$ \lim_{x \to 0.5}\frac{2x-1}{8x^3+16x-9} = \lim_{x \to 0.5}\frac{(2x-1)'}{(8x^3+16x-9)'} = $$находим отдельно производные числителя и знаменателя$$ = \lim_{x \to 0.5}\frac{2}{24x^2+16} = \frac{2}{24*\frac{1}{4}+16} = \frac{1}{11} $$
Ответ: \( \lim_{x \to 0.5}\frac{2x-1}{8x^3+16x-9} = \frac{1}{11}\)
