Найти предел: \( \lim_{x \to 3}\frac{x-3}{\sqrt[3]{x^2-1}-2} \)
Решение: найдем предел $$ \lim_{x \to 3}\frac{x-3}{\sqrt[3]{x^2-1}-2} = \lim_{x \to 3}\frac{3-3}{\sqrt[3]{3^2-1}-2} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\).
1. Разрешим неопределенность методом преобразований.
Проведем преобразования дроби, избавимся от иррациональности в знаменателе, применим к знаменателю формулу разности кубов \(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\), получим $$ \lim_{x \to 3}\frac{x-3}{\sqrt[3]{x^2-1}-2} = $$$$ = \lim_{x \to 3}\frac{x-3}{\sqrt[3]{x^2-1}-2}*\frac{ (\sqrt[3]{x^2-1})^2+2\sqrt[3]{x^2-1}+4}{(\sqrt[3]{x^2-1})^2+2\sqrt[3]{x^2-1}+4} = $$ $$ = \lim_{x \to 3}\frac{(x-3)((\sqrt[3]{x^2-1})^2+2\sqrt[3]{x^2-1}+4)}{x^2-1-8} = $$ применим в знаменателе формулу разности квадратов \( a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\)
$$ = \lim_{x \to 3}\frac{(x-3)((\sqrt[3]{x^2-1})^2+2\sqrt[3]{x^2-1}+4)}{(x-3)(x+3)} = $$$$ = \lim_{x \to 3}\frac{(\sqrt[3]{x^2-1})^2+2\sqrt[3]{x^2-1}+4}{x+3} = $$ сократили в числителе и знаменателе множители (x-3), который давал предел равный 0, т.е неопределенность, поэтому найдем предел повторно $$ = \frac{(\sqrt[3]{3^2-1})^2+2\sqrt[3]{3^2-1}+4}{3+3} = 2$$
2. Разрешим неопределенность, применим правило Лопиталя.
Правило Лопиталя: если \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}\), то $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Найдем производные числителя и знаменателя: $$ \lim_{x \to 3}\frac{x-3}{\sqrt[3]{x^2-1}-2} = \lim_{x \to 3}\frac{(x-3)'}{ (\sqrt[3]{x^2-1}-2)'} = $$$$ = \lim_{x \to 3}\frac{1}{ \frac{1}{3}(x^2-1)^{-\frac{2}{3}}*2x}= \lim_{x \to 3}\frac{3}{2x}(x^2-1)^{\frac{2}{3}} =$$$$ = \frac{3}{2*3}(3^2-1)^{\frac{2}{3}}=2$$
Ответ: \( \lim_{x \to 3}\frac{x-3}{\sqrt[3]{x^2-1}-2} = 2 \)
