Найдем предел функции $$ \lim_{x \to 0}\frac{ \sin(x)-tan(x)}{ \sin^3(x)} $$
Решение:
Найдем предел $$ \lim_{x \to 0}=\frac{ \sin(x)-tan(x)}{\sin^3(x)} = \frac{ 0 - 0}{ 0} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\).
Данную неопределенность можно разрешать применяя метод преобразования и правило Лопиталя
1. Метод преобразований: (в данном случае тригонометрические преобразования ). Цель преобразований - выделить в числителе и знаменателе множители, которые при \(x \to 0\) стремятся к \( 0\) и сократить их, т.е. сократить члены, которые приводят к неопределенности вида \(\frac{ 0}{ 0}\) $$ \lim_{x \to 0}=\frac{ \sin(x)-tan(x)}{\sin^3(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x)}{ \sin(x)} \frac{ 1 - \frac{1}{ \cos(x)}}{\sin^2(x)} = $$ Из числителя и знаменателя вынесли множитель \( \sin(x)\), который \( \lim_{x \to 0}( \sin(x)) = 0\) это и есть искомый множитель, сокращаем его $$ = \lim_{x \to 0} \frac{ 1 - \frac{1}{ \cos(x)}}{\sin^2(x)} = \frac{ 1 - \frac{1}{ 1}}{ 0} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\), продолжаем преобразования. Применим формулу основного тригонометрического тождества \( \sin^2(x)+\cos^2(x) = 1\), получаем $$ = \lim_{x \to 0} \frac{ \cos(x) - 1}{ \cos(x)(1 - \cos^2(x))} = $$ примени формулу разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) $$ = \lim_{x \to 0} \frac{ \cos(x) - 1}{ \cos(x)(1 - \cos(x))(1 + \cos(x))} = $$ сокращаем множитель \( 1 - \cos(x)\) предел которого равен 0 \( \lim_{x \to 0} (1 - \cos(x)) = 1-1 =0 \) $$ = - \lim_{x \to 0} \frac{ 1}{ \cos(x)(1 + \cos(x))} = -\frac{ 1}{ 1(1 + 1)} = -\frac{1}{2}$$ Ответ: \( \lim_{x \to 0}\frac{ \sin(x)-tan(x)}{\sin^3(x)} = -\frac{1}{2} \)
2. Правило Лопиталя: Правило Лопиталя: если \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}\), то $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Для применением правила Лопиталя необходима неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), которую мы получили раннее, поэтому можно применить правило Лопиталя: $$ \lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x)-tan(x)}{ \sin^3(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{( \sin(x)-tan(x))'}{( \sin^3(x))'} = $$ находим отдельно производные числителя и знаменателя $$ = \lim_{x \to 0} \frac{ \cos(x) - \frac{1}{ \cos^2(x)}}{ 3\sin^2(x) \cos(x)} = \frac{ \cos(x) - 1}{ 3*0*1} = \frac{0}{0}$$ повторно применим правило Лопиталя, предварительно приведем к общему знаменателю числитель $$ \lim_{x \to 0} \frac{ \cos(x) - \frac{1}{ \cos^2(x)}}{ 3\sin^2(x) \cos(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{ \cos^3(x) - 1}{ 3\sin^2(x) \cos^3(x)} = $$ находим производные (применяем правило Лопиталя) $$ = \lim_{x \to 0} \frac{ (\cos^3(x) - 1)'}{ (3\sin^2(x) \cos^3(x))'} = $$$$ = \lim_{x \to 0} \frac{ -3\cos^2(x) \sin(x)}{ 6\sin(x) \cos^4(x) - 9\sin^2(x) \cos^2(x)\sin(x)} = $$$$ = - \lim_{x \to 0} \frac{ 1}{ 2 \cos^2(x) - 3\sin^2(x) } = - \frac{ 1}{ 2 *1 - 3*0 } = -\frac{1}{2}$$
Ответ: \( \lim_{x \to 0}\frac{ \sin(x)-tan(x)}{ \sin^3(x)} = -\frac{1}{2}\)
