Найдем наибольшее и наименьшее значение функции \(z = -xy+9\) в области \(x^2+y^2 \leq 9\)
Решение:
1. Найдем экстремумы функции двух переменных \( z = -xy+9 \)
1.1 находим частные производные функции двух переменных
$$z'_x = (-xy+9)'_x = -y$$$$z'_y = (-xy+9)'_y = -x$$
1.2. необходимое условие локального экстремума.
Находим стационарные точки (точки возможного экстремума) для этого составим систему уравнений $$ \begin{cases} -y = 0 \\ -x = 0 \end{cases} $$ Получили стационарную точку \((0; 0)\).
1.3. для проверки достаточных условий локального экстремума вычислим вторые производные:
$$a_{11} = z''_{x^2} = (-y)'_x = 0$$$$a_{12} = z''_{xy} =(-y)'_y = -1$$$$a_{22} = z''_{y^2} = (-x)'_y =0$$
1.4. находим определитель $$Δ_{xy} = \left|\begin{array}{c}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{array}\right| = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} = a_{11}a_{22} - a_{12}^2$$ подставляем значения коэффициентов $$ Δ_{xy} = 0*0 - (-1)^2 = -1$$
рассчитаем значение определителя
для точки \((0; 0)\) получаем \(Δ_{xy} = -1 < 0 \)
1.5. анализируем точку (0;0)
для точки \((0; 0)\) анализируем \(Δ_{xy} < 0\) - в данной точке экстремума нет
2. Исследуем функцию на границе области.
2.2. Исследуем изменение функции на границе области, т.е. на окружности \(x^2+y^2 = 9\). Воспользуемся параметрическим уравнением окружности \(x = r\cos(t); y = r\sin(t) => x=3\cos(t); y=3\sin(t); (0 < t < 2\pi) \). Подставляем параметрически заданные \(x;y\) в уравнение функции двух переменных и получаем функцию одной переменной \(z(t)\) $$z = -xy+9 => z = -3\cos(t)*3\sin(t) + 9 => z = -\frac{9}{2}\sin(2t) + 9 $$
2.2. Найдем экстремум функции одной переменной \(z(t)\)
\(z' = (-\frac{9}{2}\sin(2t) + 9)' = -\frac{9}{2}*2\cos(2t) = -9\cos(2t)\). Приравняем первую производную к 0 $$z' = -9\cos(2t) = 0 => 2t = \pm \frac{\pi}{2} +2 \pi n => $$$$ t = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n => t_1 = \frac{\pi}{4}; t_2 = -\frac{\pi}{4}; t_3 = \frac{5\pi}{4}; t_4 = \frac{3\pi}{4}$$ Найдем вторую производную \(z'' = (-9\cos(2t))' = 18\sin(2t)\). Находим значение второй производной в точках \(t_1;t_2;t_3;t_4\), получаем
\(z''(- \frac{\pi}{4}) = 18\sin(2* \frac{-\pi}{4}) = -18 < 0 \)
\(z''( \frac{\pi}{4}) = 18\sin(2* \frac{ \pi}{4}) = 18 > 0 \)
\(z''( \frac{3\pi}{4}) = 18\sin(2* \frac{3\pi}{4}) = -18 < 0 \)
\(z''( \frac{5\pi}{4}) = 18\sin(2* \frac{5\pi}{4}) = 18 > 0 \)
Получили:
точка \(t_1 = \frac{\pi}{4}\) - точка минимума
точка \(t_3 = \frac{5\pi}{4}\) - точка минимума
точка \(t_2 = -\frac{\pi}{4}\) - точка максимума
точка \(t_4 = \frac{3\pi}{4}\) - точка максимума
Рассмотрим полученные значения.
1. Из п.1 следует, что функция двух переменных \(z(x;y)\) - экстремумов не имеет, значит наименьшее и наибольшее значения функции лежат на границе ее области \(x^2+y^2 \leq 9\).
2. При исследовании границы области, получили две точки максимума
точка \(t_2 = -\frac{\pi}{4} =>\) найдем координаты точки максимума \(x = 3\cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{3}{\sqrt{2}}\), \(y = 3\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{3}{\sqrt{2}}\) =>
координаты точки максимума \((\frac{3}{\sqrt{2}};-\frac{3}{\sqrt{2}})\).
Значение функции в этой точке будет равно \(z(\frac{3}{\sqrt{2}};-\frac{3}{\sqrt{2}}) = -\frac{3}{\sqrt{2}}*(-\frac{3}{\sqrt{2}}) +9 = \frac{27}{2}\)
точка \(t_4 = \frac{3\pi}{4} =>\) найдем координаты точки максимума \(x = 3\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{3}{\sqrt{2}}\), \(y = 3\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{3}{\sqrt{2}}\) =>
координаты точки максимума \((- \frac{3}{\sqrt{2}};\frac{3}{\sqrt{2}})\).
Значение функции в этой точке будет равно \(z(-\frac{3}{\sqrt{2}};\frac{3}{\sqrt{2}}) = -(-\frac{3}{\sqrt{2}})*\frac{3}{\sqrt{2}}+9 = \frac{27}{2}\)
3. При исследовании границы области, получили две точки минимума
точка \(t_1 = \frac{\pi}{4} =>\) найдем координаты точки максимума \(x = 3\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{3}{\sqrt{2}}\), \(y = 3\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{3}{\sqrt{2}}\) =>
координаты точки минимума \((\frac{3}{\sqrt{2}}; \frac{3}{\sqrt{2}})\).
Значение функции в этой точке будет равно \(z(\frac{3}{\sqrt{2}};\frac{3}{\sqrt{2}}) = -\frac{3}{\sqrt{2}}*\frac{3}{\sqrt{2}} +9 = \frac{9}{2}\)
точка \(t_3 = \frac{5\pi}{4} =>\) найдем координаты точки минимума \(x = 3\cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{3}{\sqrt{2}}\), \(y = 3\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{3}{\sqrt{2}}\) =>
координаты точки минимума \((- \frac{3}{\sqrt{2}}; -\frac{3}{\sqrt{2}})\).
Значение функции в этой точке будет равно \(z(\frac{3}{\sqrt{2}};\frac{3}{\sqrt{2}}) = -\frac{3}{\sqrt{2}}*\frac{3}{\sqrt{2}}+9 = \frac{9}{2}\)
Ответ:
наибольшее значение функции
\(max\{z = -xy+9| x^2+y^2 \leq 9\} = \frac{27}{2}\) в точке с координатами \((\frac{3}{\sqrt{2}};-\frac{3}{\sqrt{2}})\)
\(max\{z = -xy+9| x^2+y^2 \leq 9\} = \frac{27}{2}\) в точке с координатами \((-\frac{3}{\sqrt{2}};\frac{3}{\sqrt{2}})\)
наименьшее значение функции
\(min\{z = -xy+9| x^2+y^2 \leq 9\} = \frac{9}{2}\) в точке с координатами \( ( \frac{3}{\sqrt{2}}; \frac{3}{\sqrt{2}})\)
\(min\{z = -xy+9| x^2+y^2 \leq 9\} = \frac{9}{2}\) в точке с координатами \(( -\frac{3}{\sqrt{2}}; -\frac{3}{\sqrt{2}})\)
