В прямоугольном треугольнике ABC угол C=90 градусов. Биссектриса угла делит противоположную сторону Seekland INFO Сообщество взаимопомощи студентов и школьников / Спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

1 Vote

Posted Апрель 4, 2013 by Курагина Е.Н

Всего просмотров: 21734

В прямоугольном треугольнике ABC угол C=90 градусов. Биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки длиной 4 и 5 см. Найдите площадь треугольника

Теги: планиметрия, свойство биссектрисы угла треугольника, площадь треугольника

Лучший ответ

0 Голосов

Posted Апрель 4, 2013 by Вячеслав Моргун

Рассмотрим рисунок
свойство биссектрисы угла треугольника

Вспомним свойство биссектрисы треугольника : биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам

$\frac{AO}{OB}=\frac{ AC}{CB}$ подставим в формулу значения и получим

$\frac{ AC}{CB} = \frac{4}{5} => AC = \frac{4}{5}CB$ эта формула дала нам связь между катетами, найдем их, а зная катеты найдем площадь прямоугольного треугольника. Катеты найдем по формуле Пифагора

$AC^2+CB^2 = AB^2 => \frac{16}{25}CB^2+CB^2=9^2 =>CB = \sqrt{9^2*\frac{25}{41}}=45*\frac{1}{\sqrt{41}}$ Зная один из катетов и их соотношение найдем площадь

$S_{ABC} = \frac{1}{2}* AC*CB=\frac{1}{2}*\frac{4}{5}*45*\frac{1}{ \sqrt{41}} = \frac{18}{\sqrt{41}}$ Ответ: площадь

$S_{ABC} = \frac{18}{\sqrt{41}}$

Другие ответы

0 Голосов

Posted Апрель 4, 2013 by Курагина Е.Н

тут почему то ответ 54 см^2

0 Голосов

Posted Апрель 5, 2013 by Курагина Е.Н

А если так?

Пусть В - прямой угол, а А - угол биссектрисы, соответственно ВС = 4 + 5 = 9;

АВ/АС = 4/5. Это косинус угла А Cos(A) = 4/5; поэтому Sin(A) = 3/5; Ctg(A) = 4/3;

АС = ВС/Sin(A) = 15; AB = BC/Ctg(A) = 12;

S = (1/2)*12*9 = 54

0 Голосов

Posted Апрель 5, 2013 by Курагина Е.Н

ой,не то

вот

По свойству биссектрисы имеем

5/c=4/a где а-второй катет, с-гипотенуза

по теореме Пифагора 81+а^=c^

5a=4c 25a^=16c^

81+a^=c^

9a^=81*16

a=12

S=12*9*1/2=54

0 Голосов

Posted Апрель 5, 2013 by Вячеслав Моргун

В твоих рассуждениях ошибка
1. катет всегда меньше гипотенузы, т.е. a=12 не может быть, т.к. с=9.
2. правильно свойство биссектрисы звучит как: биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам
3. в задаче говорится об угле 90, поэтому биссектриса значит пропорция будет такой $\frac{AO}{OB}=\frac{AC}{CB}$
4. задачу я решил, вроде, правильно

0 Голосов

Posted Апрель 5, 2013 by Вячеслав Моргун

Ответ 54 возможен, если изменить условие задачи, а именно дописать - биссектриса угра $A$ или биссектриса делит противоположный катет на отрезки 4 и5 .....
Схема решения остается, например катет делит сторону $CB$ , тогда получим

$\frac{CO}{OB}=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}=>AC=\frac{4}{5}AB$ по теореме Пифагора получим

$AC^2+CB^2 = AB^2 =>\frac{16}{25}AB^2 + 9^2=AB^2$

$\frac{9}{25}AB^2 = 9^2 =>AB = 15$ тогда второй катет будет равен

$AC = \frac{4}{5}AB = \frac{4}{5}*15=12$ , а площадь треугольника равна

$S=\frac{1}{2}AC*CB=\frac{1}{2}*12*9=54$

Previous Next

1-5 of 6 Results