В прямоугольном треугольнике ABC угол C=90 градусов. Биссектриса угла делит противоположную сторону

Рассмотрим рисунок

Вспомним свойство биссектрисы треугольника : биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам $$\frac{AO}{OB}=\frac{ AC}{CB}$$подставим в формулу значения и получим \(\frac{ AC}{CB} = \frac{4}{5} => AC = \frac{4}{5}CB\) эта формула дала нам связь между катетами, найдем их, а зная катеты найдем площадь прямоугольного треугольника. Катеты найдем по формуле Пифагора $$ AC^2+CB^2 = AB^2 => \frac{16}{25}CB^2+CB^2=9^2 =>CB = \sqrt{9^2*\frac{25}{41}}=45*\frac{1}{\sqrt{41}}$$Зная один из катетов и их соотношение найдем площадь $$S_{ABC} = \frac{1}{2}* AC*CB=\frac{1}{2}*\frac{4}{5}*45*\frac{1}{ \sqrt{41}} = \frac{18}{\sqrt{41}}$$Ответ: площадь \(S_{ABC} = \frac{18}{\sqrt{41}}\)

Ответ 54 возможен, если изменить условие задачи, а именно дописать - биссектриса угра \(A\) или биссектриса делит противоположный катет на отрезки 4 и5 .....
Схема решения остается, например катет делит сторону \(CB\), тогда получим $$\frac{CO}{OB}=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}=>AC=\frac{4}{5}AB$$по теореме Пифагора получим $$AC^2+CB^2 = AB^2 =>\frac{16}{25}AB^2 + 9^2=AB^2$$$$\frac{9}{25}AB^2 = 9^2 =>AB = 15$$ тогда второй катет будет равен \(AC = \frac{4}{5}AB = \frac{4}{5}*15=12\), а площадь треугольника равна $$S=\frac{1}{2}AC*CB=\frac{1}{2}*12*9=54$$

В твоих рассуждениях ошибка
1. катет всегда меньше гипотенузы, т.е. a=12 не может быть, т.к. с=9.
2. правильно свойство биссектрисы звучит как: биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам
3. в задаче говорится об угле 90, поэтому биссектриса значит пропорция будет такой \(\frac{AO}{OB}=\frac{AC}{CB}\)
4. задачу я решил, вроде, правильно

ой,не то

вот

По свойству биссектрисы имеем

5/c=4/a  где а-второй катет, с-гипотенуза

по теореме Пифагора 81+а^=c^

5a=4c   25a^=16c^

81+a^=c^

9a^=81*16

a=12

S=12*9*1/2=54

А если так?

Пусть В - прямой угол, а А - угол биссектрисы, соответственно ВС = 4 + 5 = 9;

АВ/АС = 4/5. Это косинус угла А Cos(A) = 4/5; поэтому Sin(A) = 3/5; Ctg(A) = 4/3;

АС = ВС/Sin(A) = 15; AB = BC/Ctg(A) = 12;

S = (1/2)*12*9 = 54

тут почему то ответ 54 см^2