Найдем предел $$\lim_{x \to 0} \frac{tg x - \sin x}{\sin^3x}$$ без использования правила Лопиталя.
Данный вид заданий решается методом преобразований (в данном случае тригонометрических). Цель преобразований - выделить в числителе и знаменателе множители, которые при \(x \to 0\) стремятся к 0 и сократить их, т.е. сократить члены, которые приводят к неопределенности вида \(\frac{0}{0}\)
Решение: подставим в формулу \(tg = \frac{\sin x}{\cos x}\), получаем $$\lim_{x \to 0} \frac{tg x - \sin x}{\sin^3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{sin^3x} = $$ выносим \(\sin x\) из числителя и знаменатель и сокращаем его. Как известно \(\lim_{x \to 0} \sin x = 0 \), т.е. это и есть тот множитель, который приводит предел к неопределенности $$ = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\sin x}\frac{\frac{1}{\cos x} - 1}{\sin^2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos x} - 1}{\sin^2x} = $$$$ = \frac{\frac{1}{\cos(0)} - 1}{\sin^2(0)} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}$$Получили неопределенность \(\frac{0}{0}\), поэтому продолжаем преобразования, применим формулу основного тригонометрического тождества \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 => \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \), получаем $$ = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos x}-1}{\sin^2x} = \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(x)}{\cos(x)(1 - \cos^2(x))} =$$ Применяем формулу разности квадратов \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\), т.е. \(1 - \cos^2(x) = (1 - \cos(x))(1+\cos(x))\), получаем $$ = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{\cos(x)(1 - \cos^2(x))} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{\cos(x)(1 - \cos(x))(1+\cos(x))} = $$множитель в числителе и знаменателе \(1 - \cos(x)\) - это и есть тот множитель, который при \(\lim_{x \to 0} {1-\cos(x)} = 1 - 1 =0\) равен 0, сокращаем его в числителе и знаменателе, получаем $$ = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos(x)(1+\cos(x))} = \frac{1}{1*(1+1)} = \frac{1}{2}$$
Ответ: \(\lim_{x \to 0} \frac{tg x - \sin x}{\sin^3x} = \frac{1}{2}\)
