Решение: найдем производную неявной функции \(x(y)\), заданную уравнением \(y\sin(x) = \cos(x+y)\).
1. Представим заданную функцию в виде функции двух переменных \(F(x;y) = y\sin(x) - \cos(x+y) = 0 \).
2. Найдем частные производные функции двух переменных \(F(x;y)\) по x и y
$$F'_x = \frac{\partial F}{\partial x} = (y\sin(x) - \cos(x+y))'_x = $$ при этом считаем \(y = const \) $$ = y\cos(x) +\sin(x+y)$$
$$F'_y = \frac{\partial F}{\partial y} = (y\sin(x) - \cos(x+y))'_y = $$ при этом считаем \(x = const \) $$ = \sin(x) +\sin(x+y)$$
3. Найдем производную неявно заданной функции по формуле $$\frac{dx}{dy} = -\frac{F'_y}{F'_x} = -\frac{\sin(x) +\sin(x+y)}{y\cos(x) +\sin(x+y)}$$
Ответ: производная функции заданной неявно \(y\sin(x) = \cos(x+y)\) равна \(\frac{dx}{dy} = -\frac{\sin(x) +\sin(x+y)}{y\cos(x) +\sin(x+y)}\)
