Решение: распределением Пуассона называется распределение вероятностей случайной величины, определяемой формулой \(P_n(k) = \frac{a^ke^{-a}}{k!}\).
Математическое ожидание дискретой случайной величины, распределенной по закону Пуассона равно \(M(x) = a\), т.е. равно параметру распределения.
В условии задачи сказано, что \(a*60 = 120 => a=2\).
Для решения задачи запишем закон распределения Пуассона в таблице $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline \\ P & e^{-2} & 2e^{-2} & \frac{2^2e^{-2}}{2!}= 2e^{-2} & \frac{2^3e^{-2}}{3!} = \frac{4}{3}e^{-2} & \frac{2^4e^{-2}}{4!} = \frac{2}{3}e^{-2}\end{array}$$
Найдем вероятность того, что в течение минуты поступит
a) не более одного сообщения.
Найдем вероятность \(P_n(k \leq 1) = P_n(0) + P(1) = e^{-2} + 2e^{-2} = 3e^{-2} \approx 0.406\)
б) ровно три сообщения.
Найдем вероятность \(P_n(k=3) = P_n(3) = \frac{4}{3}e^{-2} \approx 0.1804\)
в) не менее пяти сообщений.
Найдем вероятность \(P_n(k \geq 5) = 1 - P_n(k \leq 4)=1 - P_n(0) - P_n(1) - P_n(2) - P_n(3) - P_n(4) = \)\( = 1 - e^{-2} - 2e^{-2} - 2e^{-2} - \frac{4}{3}e^{-2} -\frac{2}{3}e^{-2} = 1-\frac{7}{e^2} \approx 0.0527\)
г) более трех сообщений не менее пяти сообщений.
Найдем вероятность \(P_n( 3 < k < 5) = P_n(4)= \frac{2}{3}e^{-2} \approx 0.0902\)
д) не менее четырех.
Найдем вероятность \(P_n(k \geq 4) = 1 - P_n(k \leq 3)=1 - P_n(0) - P_n(1) - P_n(2) - P_n(3) = \)\( =1 - e^{-2} - 2e^{-2} - 2e^{-2} - \frac{4}{3}e^{-2} = 1-\frac{19}{3e^2} \approx 0.1428\)
