Дано уравнение кривой второго порядка \(9x^2+16y^2+90x-32y+97=0\)
1. Записать уравнение кривой в каноническом виде.
В данном уравнении есть только члены второй и первой степени (нет смешанного произведения), поэтому каноническое уравнение будем получать методом выделения полного квадрата.
$$9x^2+16y^2+90x-32y+97=0 => $$$$ 9x^2+90x+16y^2-32y+97=0 => $$$$ 9(x^2+10x)+16(y^2-2y)+97=0 => $$$$ 9(x^2+2*5x)+16(y^2-2*1*y)+97=0 =>$$$$ 9((x+5)^2-25)+16((y-1)^2-1)+97=0 => $$$$ 9(x+5)^2-225+16(y-1)^2-16+97=0 =>$$$$9(x+5)^2+16(y-1)^2-144=0 => $$$$ 9(x+5)^2+16(y-1)^2 = 144$$осталось последнее действие - разделим обе части уравнения на 144 $$\frac{9(x+5)^2}{144}+\frac{16(y-1)^2}{144} = 1 => $$$$ \frac{(x+5)^2}{16}+\frac{(y-1)^2}{9} = 1 =>$$$$\frac{(x+5)^2}{4^2}+\frac{(y-1)^2}{3^2} = 1$$Получили уравнение эллипса, Каноническое уравнение эллипса $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$Для того, чтобы привести к указанному виду введем новые координаты \(x'=x+5;y'=y-1\), подставляем и получаем каноническое уравнение в новой системе координат, которая смещена относительно базовой системы координат на по оси Ох на влево 5 и по оси Оу на 1 вверх, получаем $$\frac{(x')^2}{4^2}+\frac{(y')^2}{3^2} = 1$$
2. Найти координаты фокусов, центра.
Рассмотрим полученное уравнение эллипса. \( \frac{(x+5)^2}{4^2}+\frac{(y-1)^2}{3^2} = 1\) из уравнения видно, что координата центра эллипса O(-5;1)
Также из уравнения определим полуоси эллипса \(a=4\) и \(b=3\).
Найдем координаты фокусов. Определим, на какой оси лежит фокальная ось \(F_1F_2\). Т.к. a > b, то фокальная ось лежит на (вдоль) оси Ox, поэтому координаты фокусов будут следующими: \(F_1(-c;0)\) и \(F_2(c;0)\), где \(c=\sqrt{a^2-b^2} => c=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\), т.е. координаты фокусов будут равны \(F_1(-\sqrt{7};0)\) и \(F_2(\sqrt{7};0)\). Это координаты фокусов для эллипса с центром в начале координат, с учетом формулы перехода \(x'=x+5;y'=y-1\) => \(x=x' -5;y=y'+1\) , получаем координаты фокусов \(F_1(-5-\sqrt{7};1)\) и \(F_2(-5+\sqrt{7};1)\)
3.Записать уравнение директрис
Директрисами эллипса называются две прямые, которые в канонической для эллипса системе координат имеют уравнение (при a > b) вида \(x = \pm \frac{a^2}{c}\),
подставляем данные и получаем $$x = \pm \frac{16}{\sqrt{5}}$$ Это уравнение мы получили для канонического уравнения эллипса с центром в начале координат, а мы помним связь между базовой системой координат и новой системой координат \(x'=x+5;y'=y-1\). Т.е. уравнение для базовой системы координат примет вид $$x' = x+5 = \pm \frac{16}{\sqrt{7}} => x = \pm \frac{16}{\sqrt{7}} - 5$$ получили уравнения директрис \(x = - \frac{16}{\sqrt{7}} - 5 \approx -11\) и \(x = \frac{16}{\sqrt{7}} - 5 \approx 1\)
4. Построить рисунок:
