Решение: найдем производную сложной функции \(y = \arcsin(\frac{1}{x})\). Применим формулу производной сложной функции $$(f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x) \quad (1)$$
1. Находим производную внешней функции \(f(g(x))= \arcsin(\frac{1}{x})\), где \(g(x) = \frac{1}{x}\) - будет аргументом функции \(f\).
Воспользуемся формулой табличной функции \((\arcsin(x))' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\), т.е получаем \(f'(g(x))= (\arcsin(\frac{1}{x}))' = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{1}{x})^2}}\)
2. Находим производную внутренней функции \(g(x)= \frac{1}{x}\).
Воспользуемся формулой табличной функции \((\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}\).
3. Подставляем результат пунктов п.1,2 в формулу (1)
$$y' = (\arcsin(\frac{1}{x}))' = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{1}{x})^2}} * (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$$
Ответ: \( (\arcsin(\frac{1}{x}))' = -\frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}\)
