Задана система лінійних рівнянь. Розвязати її двома способами: методом Гауса і методом Крамера Seekland INFO Сообщество взаимопомощи студентов и школьников / Спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

0 Голосов

Posted Октябрь 1, 2014 by Голубєва Марина Сергіївна

Всего просмотров: 2954

Задана система лінійних рівнянь. Розвязати її двома способами: методом Гауса і методом Крамера: $\begin{cases} 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 8 \\ 2x_1 - x_2 - 3x_3 = -4 \\ x_1 + 5x_2 + x_3 = 0 \end{cases}$

Теги: решить систему уравнений, метод Крамера, метод Гаусса

Лучший ответ

0 Голосов

Posted Октябрь 1, 2014 by Вячеслав Моргун

Решим систему уравнений $\begin{cases} 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 8 \\ 2x_1 - x_2 - 3x_3 = -4 \\ x_1 + 5x_2 + x_3 = 0 \end{cases}$
Применим правило Крамера.
1.Составим матрицу системы из коэффициентов при неизвестных $x_i$ . При этом, если какого-то из неизвестных в уравнении не хватает, то на его место в соответствующем столбике ставим 0. Получили $A =\left(\begin{array}{c}3& 4 & 2\\ 2 & -1 & -3\\ 1 & 5 & 1\end{array}\right)$ Найдем определитель матрица $A$ , обозначается как $Δ$ . Если определитель $Δ = det A \ne 0$ , то система имеет единственное решение, которое находится по формуле $x_i = \frac{Δ_i}{Δ}$ где $i = 1,2, ... n$ , а $Δ_i$ - определитель матрицы, полученный из матрицы системы путем замены $i$ - го столбца столбцом свободных членов.

Находим определитель матрицы по правилу треугольника $Δ = \det A =\left|\begin{array}{c}3& 4 & 2\\ 2 & -1 & -3\\ 1 & 5 & 1\end{array}\right| = -3 -12 + 20 + 2 + 45 - 8 = 44$ Определитель $Δ = 44 \ne 0$ , т.е. система имеет единственное решение.
Найдем решение системы уравнений:
2. Подставим вместо первого столбца в определитель $Δ$ столбец свободных членов и разделим на определитель матрицы $Δ = 44$ , получаем $x_1 = \frac{1}{44} *\left|\begin{array}{c} 8& 4 & 2\\ -4 & -1 & -3\\ 0 & 5 & 1\end{array}\right|$ Определитель находим по правилу треугольника, получаем $x_1 = \frac{1}{44}(-8 - 40 + 120 + 16) = \frac{88}{44} = 2$

3. Подставим вместо второго столбца в определитель $Δ$ столбец свободных членов и разделим на определитель матрицы $Δ = 44$ , получаем $x_2 = \frac{1}{44} *\left|\begin{array}{c}3& 8 & 2\\ 2 & -4 & -3\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right|$ Определитель находим по правилу треугольника, получаем $x_2 = \frac{1}{44} (-12 - 24 + 8 - 16) = \frac{-44}{44} = -1$

4. Подставим вместо третьего столбца в определитель $Δ$ столбец свободных членов и разделим на определитель матрицы $Δ = 44$ , получаем $x_3 = \frac{1}{44} *\left|\begin{array}{c}3& 4 & 8\\ 2 & -1 & -4\\ 1 & 5 & 0\end{array}\right|$ Определитель находим по правилу треугольника, получаем $x_3 = \frac{1}{44} (-16 + 80 + 8 + 60) = \frac{132}{44} = 3$ Получили три решения системы уравнений
Ответ: $\left[\begin{array}{c}x_1=2 \\ x_2= -1 \\x_3 =3 \end{array}\right.$

Другие ответы

0 Голосов

Posted Октябрь 1, 2014 by Вячеслав Моргун

Решим систему уравнений $\begin{cases} 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 8 \\ 2x_1 - x_2 - 3x_3 = -4 \\ x_1 + 5x_2 + x_3 = 0 \end{cases}$

Методом Гаусса

1.Проверяем систему уравнений на совместность. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Составим расширенную матрицу системы, приписав к матрице из коэффициентов системы $A = \left(\begin{array}{c}1 &1 &-3\\ 2& 1& -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & -3 \end{array}\right)$ справа столбец свободных членов, получаем : $(A|b) = \left(\begin{array}{c} 3& 4 & 2\\ 2 & -1 & -3\\ 1 & 5 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 8 \\ -4 \\ 0 \end{array}\right.\right)$

Согласно теоремы Кронекера-Капелли система

$Ax=b$ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы

$rg(A|b)=rgA$
Найдем ранг матрицы:
2. Используя элементарные преобразования над строками матрицы $(A|b)$ , приведем ее к ступенчатому виду,
для этого используем метод Гаусса.
Прямой ход метода Гаусса.

Нам необходимо выбрать ведущий элемент в первом столбце. Для простоты решения нужно чтобы он был равен 1. Т.е. первую строку можно разделить на 3, а можно поменять местами первую и третью строку, получим

$(A|b) = \left(\begin{array}{c} 1& 5 & 1\\ 2 & -1 & -3\\ 3 & 4 & 2 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0\\ -4 \\ 8 \end{array}\right.\right)$ Берем в качестве ведущего элемента

$a_{11} = 1 \ne 0$ .

Из второй строки вычтем первую строку, умноженную на

$2$

$(A|b) = \left(\begin{array}{c}1& 5 & 1\\ 0 & -11 & -5\\ 3 & 4 & 2 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0\\ -4 \\ 8 \end{array}\right.\right) \sim$
Аналогично из третьей строки вычтем первую, умноженную на

$3$ , получим:

$\left(\begin{array}{c}1& 5 & 1\\ 0 & -11 & -5\\ 0 & -11 & -1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0\\ -4 \\ 8 \end{array}\right.\right) \sim$
В данном случае элементы

$a_22=a_23$ , поэтому берем в качестве ведущего элемента

$a_{22} = -11 \ne 0$
Из третьей строки вычитаем вторую

$\left(\begin{array}{c}1& 5 & 1\\ 0 & -11 & -5\\ 0 & 0 & 4 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0\\ -4 \\ 12 \end{array}\right.\right) \sim$
для упрощения дальнейших расчетов разделим третью строку на 4

$\left(\begin{array}{c}1& 5 & 1\\ 0 & -11 & -5\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0\\ -4 \\ 3 \end{array}\right.\right) \sim$

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду.
3. Определим ранг матрицы

$rgA = rg(A|b) = 3$ Согласно теоремы Кронекера-Капелли система совместна.

Так как система совместна, продолжаем ее решать методом Гаусса, приводим полученную матрицу $(\widetilde{A}|\widetilde{b})$ к упрощенному виду:

4. Обратный ход метода Гаусса.
Берем в качестве ведущего элемента

$a_{33} = 1 \ne 0$ .
К второй строке прибавляем третью строку, умноженную на

$5$

$\left(\begin{array}{c}1& 5 & 1\\ 0 & -11 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 0\\ 11 \\ 3 \end{array}\right.\right) \sim$
вычтем из первой строки третью

$\left(\begin{array}{c}1& 5 & 0\\ 0 & -11 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -3\\ 11 \\ 3 \end{array}\right.\right) \sim$
Разделим вторую строку на -11

$\left(\begin{array}{c}1& 5 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} -3\\ -1 \\ 3 \end{array}\right.\right) \sim$
вычтем из первой строки вторую, умноженную на 5

$\left(\begin{array}{c}1& 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 2\\ -1 \\ 3 \end{array}\right.\right) \sim$
Решением системы уравнений единственное и равно

$\begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = -1 \\ x_3 =3 \end{cases}$