Задано вершини трикутника АВС. А (1; -1); В (5,2) С(0,4);

1) Уравнения сторон треугольника.
Даны три вершины треугольника A(1;-1), B(5;2), C(0;4) , поэтому уравнения сторон будем искать ка уравнение прямой, проходящей через две заданные точки \( \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \quad (1) \) Подставляем координаты вершин:
уравнение стороны AB, при известных координатах вершины A(1;-1) и B(5;2) $$ AB \quad \frac{x-1}{5-1} = \frac{y+1}{2+1} => y = \frac{3}{4}x - \frac{7}{4}$$
уравнение стороны AC, при известных координатах вершины A(1;-1) и C(0;4) $$ AC \quad \frac{x-1}{0-1} = \frac{y+1}{4+1} => y = 4-5x$$
уравнение стороны BC, при известных координатах вершины B(5;2) и C(0;4) $$CB \quad \frac{x-5}{0-5} = \frac{y-2}{4-2} => y = -\frac{2}{5}x + 4$$

2.1). Уравнение высоты, опущенной из вершины \(A\) на сторону \(BC\).
Высота AD опущена из вершины A на сторону BC, т.е. из условия известна одна координата точки A(1;-1) и направление - прямая перпендикулярна прямой BC. Воспользуемся свойством угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: \(k_1 = -\frac{1}{k_2}\). Найдем угловой коэффициент \(k_{AD} = -\frac{1}{k_{BC}} = \frac{5}{2}\). Найдем уравнение прямой AD, для этого воспользуемся уравнением прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении $$ y - y_0 = k(x - x_0) \quad (2)$$ получим $$ y + 1 = \frac{5}{2}(x - 1) => y = \frac{5}{2}x - \frac{7}{2}$$
Ответ: уравнение высоты AD \( y = \frac{5}{2}x - \frac{7}{2}\)
2.2) уравнение медианы треугольника \(ΔАВС\), которая проходит через вершину \(B\)
Для нахождения медианы BM есть координата одной точки \(B(5;2)\), а координаты второй точки прямой \(M\) найдем как координаты середины отрезка \(AC\) по формуле \( M(\frac{x_A+x_C}{2};\frac{y_A+y_C}{2})\) => \( M(\frac{1+0}{2};\frac{-1+4}{2}) \) => \( M(\frac{1}{2}; \frac{3}{2}) \)
Находим уравнение прямой \(BM\) по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки \(B\) и \(M\)  уравнение (1)$$ \frac{x-5}{0,5-5}=\frac{y-2}{1,5-2} => y =  \frac{7}{11}x + \frac{13}{11}$$
Ответ: уравнение медианы BM \( y =  \frac{7}{11}x + \frac{13}{11} \)

3) длина высоты \(AD\) 
Найдем расстояние от точки до прямой, которое рассчитывается по формуле \(d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \), где \((x_0;y_0)\) - координаты точки, а 
\(Ax_0+By_0+C =0\) - общее уравнение прямой, расстояние к которой ищется.
приводим уравнение прямой \(BC\) к общему виду \( y = -\frac{2}{5}x + 4=> 2x + 5y - 20 =0\), где \(A =2\), \(B = 5\), координаты точки А(1;-1) => \(x_0=1;y_0=-1\) подставляем в формулу $$d = \frac{|2*1 - 5*1 - 20|}{\sqrt{2^2+5^2}} = \frac{23}{\sqrt{29}} \approx 4,27$$
Ответ: длина высоты  \(AD =  \frac{23}{\sqrt{29}}  \approx 4,27\)

4) площадь треугольника \(ΔАВС\)
Площадь треугольника будем искать по формуле \(S = \frac{1}{2}ah\). Длина высоты уже известна см. п. 3) \(h  = AD = \frac{23}{\sqrt{29}} \). Необходимо найти длину стороны \(BC\) как расстояние между точками \(B(5;2)\) и \(C(0;4)\). Расстояние между точками находится по формуле Пифагора \(a = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\), получаем $$a = \sqrt{(5-0)^2+(2-4)^2} = \sqrt{29}$$ подставляем в формулу площади треугольника $$S_{ΔABC} = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2} \sqrt{29}*\frac{23}{\sqrt{29}} = \frac{23}{2} = 11,5$$ Ответ: площадь треугольника равна \(S_{ΔABC} = 11,5\)

Рисунок: