1. докажем равенство \(\sup(A) - \inf(B) = \sup(A-B)\)
Пусть существует \(z \in A-B\), при этом \(z = a-b\) для \(a \in A, b \in B\).
\(\sup(A)\) - верхняя граница A, т.е. \(a \leq \sup(A)\)
\(\inf(B)\) - нижняя граница B,т.е. \(b \geq \inf(B)\),
тогда для всех \(z\) будет выполняться неравенство \(z = a-b \leq \sup(A) - \inf(B)\). Получили, что \(\sup(A) - \inf(B)\) это верхняя граница для \(A-B\). Равенство $$\sup(A) - \inf(B) = \sup(A-B)$$ доказано.
2. Докажем, что эта граница единственная. Применим метод от противного, т.е. предположим, что существует вторая верхняя граница \(k\).
Выберем \(\epsilon > 0\), такое, что для \(a \in A\) будет выполняться неравенство $$ \sup(A) - \frac{\epsilon}{2} < a$$ и существует такое \(b \in B\) для которого $$ \inf(B) + \frac{\epsilon}{2} > b$$ Пусть существует вторая верхняя граница - \(k\) для разности \(A - B\), тогда $$a-b \leq k, \forall a \in A, b \in B$$ Тогда, после вычитания двух неравенств получаем два неравенства $$ \sup(A) - \inf(B) < k + \epsilon$$ или при \(\epsilon = 0\) $$\sup(A) - \inf(B) \leq k$$ т.е. доказали единственность верхней границы.
Равенство доказано $$\sup(A) - \inf(B) = \sup(A-B)$$
