Найдем интеграл: \( \int x^{-\frac{1}{2}}( 1 + x^\frac{1}{4})^\frac{1}{3}dx\)
Решение: в задании интеграл от биномиального дифференциала вида $$ \int x^m(a+bx^n)^pdx$$ будем решать применяя одну из подстановок Чебышева и сведем его к интегралу от рациональной функции.
1. Определим значения констант путем сравнения формулы задания с формулой интеграла от биномиального дифференциала \( m = -\frac{1}{2}; \quad a = 1; \quad b = 1; \quad n = \frac{1}{4}; \quad p = \frac{1}{3}\). Проверим $$ \frac{m+1}{n} = \frac{-\frac{1}{2}+1}{ \frac{1}{4}} = 2 $$ получили целое число, т.е. имеем второй случай интегрированности биномиального дифференциала , т.е. нужно применить замену вида (вторая подстановка Чебышева) $$ a+bx^n = t^k$$где \(k\) - знаменатель дроби \(p\), т.е. \(k = 3\), получили замену $$ 1 + x^\frac{1}{4} = t^3 => x = (t^3-1)^4 => $$$$ dx = 4(t^3-1)^3*3t^2dt $$ Подставляем замену в интеграл $$ \int x^{-\frac{1}{2}}( 1 + x^\frac{1}{4})^\frac{1}{3}dx = \int (t^3-1)^{-2}*t*4(t^3-1)^3*3t^2dt = $$$$ = 12 \int (t^3-1)t^3dt = 12 \int (t^6-t^3)dt = $$$$ 12(\int t^6dt - \int t^3dt) = $$ применяем формулу табличного интеграла степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{x+1} + C\), получаем $$ = 12( \frac{1}{7}t^7 - \frac{1}{4}t^4) + C = \frac{12}{7}t^7 - 3t^4 + C$$ применяем обратную замену \( 1 + x^\frac{1}{4} = t^3 => t = (1 + x^\frac{1}{4})^{\frac{1}{3}}\), получаем $$ = \frac{12}{7}(1 + x^\frac{1}{4})^{\frac{7}{3}} - 3(1 + x^\frac{1}{4})^{\frac{4}{3}} + C = $$$$ \frac{3}{7}(1 + x^\frac{1}{4})^{\frac{4}{3}} (4(1 + x^\frac{1}{4}) - 7) + C = $$$$ = \frac{3}{7}(1 + x^\frac{1}{4})^{\frac{4}{3}} (4x^\frac{1}{4} - 3) + C$$
Ответ: \( \int x^{-\frac{1}{2}}( 1 + x^\frac{1}{4})^\frac{1}{3}dx = \frac{3}{7}(1 + x^\frac{1}{4})^{\frac{4}{3}} (4x^\frac{1}{4} - 3) + C \)
