Решение: найдем частные производные функции двух переменных \(f(x,y)\)
1. частная производная функции по \(x\), \(f'_x\). Считаем \(y\) постоянной и дифференцируем \(f\) как функцию от одной переменной \(x\), т.е. находим производную \(f'(x)\)
$$f'_x = \frac{\partial }{\partial x}(y^{\frac{1}{3}}*\sin^{\frac{1}{3}}(x^2y)) =$$ т.к. \(y^{\frac{1}{3}}\) - константа, выносим ее, далее применяем формулу производной сложной функции \((f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)\) $$ = y^{\frac{1}{3}}*\frac{\partial }{\partial x}(\sin^{\frac{1}{3}}(x^2y)) = y^{\frac{1}{3}}*\frac{1}{3}*\sin^{\frac{1}{3}-1}(x^2y)\cos(x^2y)*2xy = $$$$ = \frac{2}{3}\frac{y^{ \frac{1}{3}}*\cos(x^2y)*xy}{\sin^{ \frac{2}{3}}(x^2y)} = \frac{2}{3}\frac{xy^{\frac{4}{3}}\cos(x^2y)}{\sin^{ \frac{1}{3}}(x^2y)}$$
Вычислим частную производную в точке \(M(0,0)\) $$f'_x(0,0) = \frac{2}{3}\frac{0*0^{ \frac{4}{3}}\cos(0^2y)}{\sin^{ \frac{1}{3}}(0^2*0)} = \infty$$ в данной точке частная производная не определена.
2. частная производная функции по \(y\), \(f'_x\). Считаем \(x\) постоянной и дифференцируем \(f\) как функцию от одной переменной \(y\), т.е. находим производную \(f'(y)\)
$$f'_y = \frac{\partial }{\partial y}(y^{\frac{1}{3}}*\sin^{\frac{1}{3}}(x^2y)) =$$ применяем формулу производной произведения \(f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\), далее применяем формулу производной сложной функции \((f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)\) $$ = (y^{\frac{1}{3}})'*\sin^{\frac{1}{3}}(x^2y) + y^{\frac{1}{3}}*(\sin^{\frac{1}{3}}(x^2y))'= $$$$ =\frac{1}{3}y^{\frac{1}{3}-1}*\sin^{\frac{1}{3}}(x^2y) + y^{\frac{1}{3}}*\frac{1}{3}\sin^{\frac{1}{3}-1}(x^2y)*\cos(x^2y)*x^2=$$$$ = \frac{\sin^{\frac{1}{3}}(x^2y)}{3y^{\frac{2}{3}}} + \frac{x^2y^{\frac{1}{3}}\cos(x^2y)}{3\sin^{\frac{2}{3}}(x^2y)}= \frac{\sin(x^2y)+ x^2y\cos(x^2y)}{3(y\sin(x^2y))^{\frac{2}{3}}} $$
Вычислим частную производную в точке \(M(0,0)\) $$f'_y(0,0) = \frac{\sin(0^2*0)+ 0^2*0\cos(0^2*0)}{3(0\sin(0^2*0))^{\frac{2}{3}}} = \infty$$ в данной точке частная производная не определена.
