Решение: для исследования на сходимость ряда \(\sum_{n=1}^\infty \frac{4*7*10*...*(3n+1)}{2*6*10*...*(4n-2)} \), применим признак Даламбера в предельной форме:
пусть задано числовой ряд \(a_1 + a_2 ...\), если существует предел $$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = l$$ то при \(l < 1\) ряд сходится, при \(l > 1\) расходится, а при \(l=1\) требуются дополнительные исследования ряда.
Запишем общий член \(a_n = \frac{4*7*10*...*(3n+1)}{2*6*10*...*(4n-2)}\) и член \(a_{n+1} = \frac{4*7*10*...*(3(n+1)+1)}{2*6*10*...*(4(n+1)-2)} = \frac{4*7*10*...*(3n+4)}{2*6*10*...*(4n+2)}\)
Найдем предел $$ \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{4*7*10*...*(3n+4)}{2*6*10*...*(4n+2)}}{\frac{4*7*10*...*(3n+1)}{2*6*10*...*(4n-2)}} = \lim_{n \to \infty}\frac{4*7*10*...*(3n+4)}{2*6*10*...*(4n+2)} \frac{2*6*10*...*(4n-2)}{4*7*10*...*(3n+1)} = $$$$ = \lim_{n \to \infty}\frac{3n+4}{4n+2} = \frac{3}{4}$$ получили предел \( l < 1\), т.е. ряд сходится.
Ответ: ряд \( \sum_{n=1}^\infty \frac{4*7*10*...*(3n+1)}{2*6*10*...*(4n-2)} \) сходится.
